В этом документе:
H \mathcal{H} H H H H C \mathcal{C} C C C C мерой сознательности .R [ Γ , E ] \mathcal{R}[\Gamma, E] R [ Γ , E ] R R R мерой рефлексии .N = 7 N = 7 N = 7 Голонома . Пространство состояний
Пространство состояний Голонома — 7-мерное комплексное гильбертово пространство (см. Семь измерений ):
H = C 7 = s p a n { ∣ A ⟩ , ∣ S ⟩ , ∣ D ⟩ , ∣ L ⟩ , ∣ E ⟩ , ∣ O ⟩ , ∣ U ⟩ } \mathcal{H} = \mathbb{C}^7 = \mathrm{span}\{|A\rangle, |S\rangle, |D\rangle, |L\rangle, |E\rangle, |O\rangle, |U\rangle\} H = C 7 = span { ∣ A ⟩ , ∣ S ⟩ , ∣ D ⟩ , ∣ L ⟩ , ∣ E ⟩ , ∣ O ⟩ , ∣ U ⟩} Матрица когерентности
См. Матрица когерентности для полного определения.
Γ ∈ L ( H ) — линейный оператор на H \Gamma \in \mathcal{L}(\mathcal{H}) \quad \text{— линейный оператор на } \mathcal{H} Γ ∈ L ( H ) — линейный оператор на H где L ( H ) \mathcal{L}(\mathcal{H}) L ( H ) H \mathcal{H} H
Γ = Γ † — эрмитов \Gamma = \Gamma^\dagger \quad \text{— эрмитов} Γ = Γ † — эрмитов Γ ≥ 0 — положительно полуопределён \Gamma \geq 0 \quad \text{— положительно полуопределён} Γ ≥ 0 — положительно полуопределён T r ( Γ ) = 1 — нормирован \mathrm{Tr}(\Gamma) = 1 \quad \text{— нормирован} Tr ( Γ ) = 1 — нормирован Матричная форма
Γ = ( γ A A γ A S γ A D γ A L γ A E γ A O γ A U γ S A γ S S γ S D γ S L γ S E γ S O γ S U γ D A γ D S γ D D γ D L γ D E γ D O γ D U γ L A γ L S γ L D γ L L γ L E γ L O γ L U γ E A γ E S γ E D γ E L γ E E γ E O γ E U γ O A γ O S γ O D γ O L γ O E γ O O γ O U γ U A γ U S γ U D γ U L γ U E γ U O γ U U ) \Gamma = \begin{pmatrix}
\gamma_{AA} & \gamma_{AS} & \gamma_{AD} & \gamma_{AL} & \gamma_{AE} & \gamma_{AO} & \gamma_{AU} \\
\gamma_{SA} & \gamma_{SS} & \gamma_{SD} & \gamma_{SL} & \gamma_{SE} & \gamma_{SO} & \gamma_{SU} \\
\gamma_{DA} & \gamma_{DS} & \gamma_{DD} & \gamma_{DL} & \gamma_{DE} & \gamma_{DO} & \gamma_{DU} \\
\gamma_{LA} & \gamma_{LS} & \gamma_{LD} & \gamma_{LL} & \gamma_{LE} & \gamma_{LO} & \gamma_{LU} \\
\gamma_{EA} & \gamma_{ES} & \gamma_{ED} & \gamma_{EL} & \gamma_{EE} & \gamma_{EO} & \gamma_{EU} \\
\gamma_{OA} & \gamma_{OS} & \gamma_{OD} & \gamma_{OL} & \gamma_{OE} & \gamma_{OO} & \gamma_{OU} \\
\gamma_{UA} & \gamma_{US} & \gamma_{UD} & \gamma_{UL} & \gamma_{UE} & \gamma_{UO} & \gamma_{UU}
\end{pmatrix} Γ = γ AA γ S A γ D A γ L A γ E A γ O A γ U A γ A S γ SS γ D S γ L S γ ES γ OS γ U S γ A D γ S D γ DD γ L D γ E D γ O D γ U D γ A L γ S L γ D L γ LL γ E L γ O L γ UL γ A E γ SE γ D E γ L E γ EE γ OE γ U E γ A O γ SO γ D O γ L O γ EO γ OO γ U O γ A U γ S U γ D U γ LU γ E U γ O U γ UU Гамильтониан
См. Эволюция: Унитарный член .
H = ∑ i = 1 N ω i ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ + ∑ i ≠ j J i j ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ H = \sum_{i=1}^{N} \omega_i |i\rangle\langle i| + \sum_{i \neq j} J_{ij} |i\rangle\langle j| H = i = 1 ∑ N ω i ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ + i = j ∑ J ij ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ где:
ω i \omega_i ω i J i j J_{ij} J ij N = 7 N = 7 N = 7
Уравнение эволюции
См. Эволюция для полного описания. Время τ — эмерджентное внутреннее время .
d Γ ( τ ) d τ = − i [ H e f f , Γ ] + ∑ k γ k ( L k Γ L k † − 1 2 { L k † L k , Γ } ) ⏟ D [ Γ ] + R [ Γ , E ] \frac{d\Gamma(\tau)}{d\tau} = -i[H_{eff}, \Gamma] + \underbrace{\sum_k \gamma_k \left( L_k \Gamma L_k^\dagger - \frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k, \Gamma\} \right)}_{\mathcal{D}[\Gamma]} + \mathcal{R}[\Gamma, E] d τ d Γ ( τ ) = − i [ H e ff , Γ ] + D [ Γ ] k ∑ γ k ( L k Γ L k † − 2 1 { L k † L k , Γ } ) + R [ Γ , E ] где:
τ \tau τ внутреннее время , возникающее из корреляций с измерением OH e f f H_{eff} H e ff − i [ H e f f , Γ ] -i[H_{eff}, \Gamma] − i [ H e ff , Γ ] D [ Γ ] \mathcal{D}[\Gamma] D [ Γ ] декогеренция )R [ Γ , E ] \mathcal{R}[\Gamma, E] R [ Γ , E ] регенеративный член L k L_k L k γ k ≥ 0 \gamma_k \geq 0 γ k ≥ 0
Мера жизнеспособности (Чистота)
См. Жизнеспособность для полного описания.
P = T r ( Γ 2 ) ∈ [ 1 N , 1 ] = [ 1 7 , 1 ] P = \mathrm{Tr}(\Gamma^2) \in \left[\frac{1}{N}, 1\right] = \left[\frac{1}{7}, 1\right] P = Tr ( Γ 2 ) ∈ [ N 1 , 1 ] = [ 7 1 , 1 ]
P = 1 P = 1 P = 1 Γ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \Gamma = |\psi\rangle\langle\psi| Γ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ P = 1 / N = 1 / 7 P = 1/N = 1/7 P = 1/ N = 1/7 максимально смешанное состояние (Γ = I N / N \Gamma = I_N/N Γ = I N / N
Условие жизнеспособности
Голоном жизнеспособен, если:
P > P crit = 2 7 ≈ 0.286 P > P_{\text{crit}} = \frac{2}{7} \approx 0.286 P > P crit = 7 2 ≈ 0.286 При P < P crit P < P_{\text{crit}} P < P crit условие смерти и теорему о критической чистоте ).
Экспериенциальное пространство
См. Категорный формализм для полного описания.
Проективное пространство качеств
P ( H E ) : = ( H E ∖ { 0 } ) / ∼ \mathbb{P}(\mathcal{H}_E) := (\mathcal{H}_E \setminus \{0\}) / {\sim} P ( H E ) := ( H E ∖ { 0 }) / ∼ где ∣ ψ ⟩ ∼ ∣ φ ⟩ ⇔ ∃ c ∈ C ∗ : ∣ ψ ⟩ = c ∣ φ ⟩ |\psi\rangle \sim |\varphi\rangle \Leftrightarrow \exists c \in \mathbb{C}^*: |\psi\rangle = c|\varphi\rangle ∣ ψ ⟩ ∼ ∣ φ ⟩ ⇔ ∃ c ∈ C ∗ : ∣ ψ ⟩ = c ∣ φ ⟩
Для H E = C N \mathcal{H}_E = \mathbb{C}^N H E = C N dim C ( P ( C N ) ) = N − 1 \dim_\mathbb{C}(\mathbb{P}(\mathbb{C}^N)) = N - 1 dim C ( P ( C N )) = N − 1
Топология:
P ( C N ) \mathbb{P}(\mathbb{C}^N) P ( C N ) P ( C N ) ≅ S 2 N − 1 / S 1 \mathbb{P}(\mathbb{C}^N) \cong S^{2N-1} / S^1 P ( C N ) ≅ S 2 N − 1 / S 1
Метрика Фубини-Штуди
Определение:
d F S ( [ ∣ ψ ⟩ ] , [ ∣ φ ⟩ ] ) : = arccos ( ∣ ⟨ ψ ∣ φ ⟩ ∣ ) ∈ [ 0 , π / 2 ] d_{\mathrm{FS}}([|\psi\rangle], [|\varphi\rangle]) := \arccos(|\langle\psi|\varphi\rangle|) \in [0, \pi/2] d FS ([ ∣ ψ ⟩] , [ ∣ φ ⟩]) := arccos ( ∣ ⟨ ψ ∣ φ ⟩ ∣ ) ∈ [ 0 , π /2 ] Свойства:
d F S = 0 ⇔ ∣ ψ ⟩ = e i θ ∣ φ ⟩ d_{\mathrm{FS}} = 0 \Leftrightarrow |\psi\rangle = e^{i\theta}|\varphi\rangle d FS = 0 ⇔ ∣ ψ ⟩ = e i θ ∣ φ ⟩ d F S = π / 2 ⇔ ⟨ ψ ∣ φ ⟩ = 0 d_{\mathrm{FS}} = \pi/2 \Leftrightarrow \langle\psi|\varphi\rangle = 0 d FS = π /2 ⇔ ⟨ ψ ∣ φ ⟩ = 0 d F S d_{\mathrm{FS}} d FS P ( H E ) \mathbb{P}(\mathcal{H}_E) P ( H E )
Инфинитезимальная форма:
d s 2 = ⟨ d ψ ∣ d ψ ⟩ − ∣ ⟨ ψ ∣ d ψ ⟩ ∣ 2 ds^2 = \langle d\psi|d\psi\rangle - |\langle\psi|d\psi\rangle|^2 d s 2 = ⟨ d ψ ∣ d ψ ⟩ − ∣ ⟨ ψ ∣ d ψ ⟩ ∣ 2 Полное экспериенциальное пространство
E : = Δ N − 1 × S p e c P ( H E ) N × C × H i s t \mathcal{E} := \Delta^{N-1} \times_{\mathrm{Spec}} \mathbb{P}(\mathcal{H}_E)^N \times \mathcal{C} \times \mathrm{Hist} E := Δ N − 1 × Spec P ( H E ) N × C × Hist где:
Δ N − 1 = { ( λ 1 , … , λ N ) : λ i ≥ 0 , ∑ λ i = 1 } \Delta^{N-1} = \{(\lambda_1, \ldots, \lambda_N) : \lambda_i \geq 0, \sum \lambda_i = 1\} Δ N − 1 = {( λ 1 , … , λ N ) : λ i ≥ 0 , ∑ λ i = 1 } ( N − 1 ) (N-1) ( N − 1 ) P ( H E ) N \mathbb{P}(\mathcal{H}_E)^N P ( H E ) N N N N C \mathcal{C} C H i s t \mathrm{Hist} Hist × S p e c \times_{\mathrm{Spec}} × Spec
Пространство контекстов 𝒞
Определение: Пространство контекстов содержит состояния всех измерений кроме E :
C : = D ( H − E ) ≅ D ( C 6 ) \mathcal{C} := \mathcal{D}(\mathcal{H}_{-E}) \cong \mathcal{D}(\mathbb{C}^6) C := D ( H − E ) ≅ D ( C 6 ) где H − E = s p a n { ∣ A ⟩ , ∣ S ⟩ , ∣ D ⟩ , ∣ L ⟩ , ∣ O ⟩ , ∣ U ⟩ } \mathcal{H}_{-E} = \mathrm{span}\{|A\rangle, |S\rangle, |D\rangle, |L\rangle, |O\rangle, |U\rangle\} H − E = span { ∣ A ⟩ , ∣ S ⟩ , ∣ D ⟩ , ∣ L ⟩ , ∣ O ⟩ , ∣ U ⟩}
Элементы: Контекст c ∈ C c \in \mathcal{C} c ∈ C
c = ρ − E = T r E ( Γ ) c = \rho_{-E} = \mathrm{Tr}_E(\Gamma) c = ρ − E = Tr E ( Γ ) Топология: C \mathcal{C} C D ( C 6 ) \mathcal{D}(\mathbb{C}^6) D ( C 6 )
Компактно (замкнутое подмножество единичного шара в C 6 × 6 \mathbb{C}^{6 \times 6} C 6 × 6
Связно
Метризуемо нормой Фробениуса: d C ( c 1 , c 2 ) = ∥ c 1 − c 2 ∥ F d_{\mathcal{C}}(c_1, c_2) = \|c_1 - c_2\|_F d C ( c 1 , c 2 ) = ∥ c 1 − c 2 ∥ F
Интерпретация: Контекст определяет, как остальные измерения (Артикуляция, Структура, Динамика, Логика, Основание, Единство) модулируют интериорное состояние.
Пространство историй Hist
Определение: Пространство историй — функциональное пространство траекторий:
H i s t : = C ( [ 0 , τ ] , D ( H E ) ) \mathrm{Hist} := C([0, \tau], \mathcal{D}(\mathcal{H}_E)) Hist := C ([ 0 , τ ] , D ( H E )) где τ > 0 \tau > 0 τ > 0 C ( [ 0 , τ ] , X ) C([0, \tau], X) C ([ 0 , τ ] , X ) [ 0 , τ ] → X [0, \tau] \to X [ 0 , τ ] → X
Элементы: История h ∈ H i s t h \in \mathrm{Hist} h ∈ Hist
h = { ρ E ( t ′ ) : t ′ ∈ [ t − τ , t ] } h = \{\rho_E(t') : t' \in [t - \tau, t]\} h = { ρ E ( t ′ ) : t ′ ∈ [ t − τ , t ]} Топология: H i s t \mathrm{Hist} Hist
Метрика: d H i s t ( h 1 , h 2 ) = sup t ′ ∈ [ 0 , τ ] ∥ ρ E ( 1 ) ( t ′ ) − ρ E ( 2 ) ( t ′ ) ∥ F d_{\mathrm{Hist}}(h_1, h_2) = \sup_{t' \in [0, \tau]} \|\rho_E^{(1)}(t') - \rho_E^{(2)}(t')\|_F d Hist ( h 1 , h 2 ) = sup t ′ ∈ [ 0 , τ ] ∥ ρ E ( 1 ) ( t ′ ) − ρ E ( 2 ) ( t ′ ) ∥ F
Банахово пространство с нормой sup
Сепарабельно
Интерпретация: История кодирует временну́ю структуру опыта — память, ожидание, адаптацию к паттернам.
Для вычислений часто используется дискретизация: H i s t disc = { ρ E ( t 0 ) , ρ E ( t 1 ) , … , ρ E ( t K ) } \mathrm{Hist}_{\text{disc}} = \{\rho_E(t_0), \rho_E(t_1), \ldots, \rho_E(t_K)\} Hist disc = { ρ E ( t 0 ) , ρ E ( t 1 ) , … , ρ E ( t K )} Δ t = τ / K \Delta t = \tau / K Δ t = τ / K
Полная метрика на E \mathcal{E} E
d E ( Q 1 , Q 2 ) : = d Δ ( λ 1 , λ 2 ) 2 + α ∑ i d F S ( [ q 1 ( i ) ] , [ q 2 ( i ) ] ) 2 + β ⋅ d C ( c 1 , c 2 ) 2 + γ ⋅ d H i s t ( h 1 , h 2 ) 2 d_{\mathcal{E}}(\mathcal{Q}_1, \mathcal{Q}_2) := \sqrt{d_\Delta(\lambda_1, \lambda_2)^2 + \alpha \sum_i d_{\mathrm{FS}}([q_1^{(i)}], [q_2^{(i)}])^2 + \beta \cdot d_{\mathcal{C}}(c_1, c_2)^2 + \gamma \cdot d_{\mathrm{Hist}}(h_1, h_2)^2} d E ( Q 1 , Q 2 ) := d Δ ( λ 1 , λ 2 ) 2 + α i ∑ d FS ([ q 1 ( i ) ] , [ q 2 ( i ) ] ) 2 + β ⋅ d C ( c 1 , c 2 ) 2 + γ ⋅ d Hist ( h 1 , h 2 ) 2 где α , β , γ > 0 \alpha, \beta, \gamma > 0 α , β , γ > 0
Категорный формализм
См. Категорный формализм для полного описания и доказательств.
Категория матриц плотности
Определение (DensityMat):
D e n s i t y M a t : = ( O b , M o r ) \mathbf{DensityMat} := (\mathrm{Ob}, \mathrm{Mor}) DensityMat := ( Ob , Mor ) O b ( D e n s i t y M a t ) = { ρ ∈ L ( H ) : ρ † = ρ , ρ ≥ 0 , T r ( ρ ) = 1 } \mathrm{Ob}(\mathbf{DensityMat}) = \{\rho \in \mathcal{L}(\mathcal{H}) : \rho^\dagger = \rho, \rho \geq 0, \mathrm{Tr}(\rho) = 1\} Ob ( DensityMat ) = { ρ ∈ L ( H ) : ρ † = ρ , ρ ≥ 0 , Tr ( ρ ) = 1 } M o r D M ( ρ 1 , ρ 2 ) = { Ψ : L ( H ) → L ( H ) ∣ Ψ — CPTP , Ψ ( ρ 1 ) = ρ 2 } \mathrm{Mor}_{\mathbf{DM}}(\rho_1, \rho_2) = \{\Psi : \mathcal{L}(\mathcal{H}) \to \mathcal{L}(\mathcal{H}) \mid \Psi \text{ — CPTP}, \Psi(\rho_1) = \rho_2\} Mor DM ( ρ 1 , ρ 2 ) = { Ψ : L ( H ) → L ( H ) ∣ Ψ — CPTP , Ψ ( ρ 1 ) = ρ 2 } Представление Крауса: Ψ \Psi Ψ ⇔ ∃ { K i } : Ψ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K i † \Leftrightarrow \exists\{K_i\}: \Psi(\rho) = \sum_i K_i \rho K_i^\dagger ⇔ ∃ { K i } : Ψ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K i † ∑ i K i † K i = I \sum_i K_i^\dagger K_i = I ∑ i K i † K i = I
CPTP-структура регенерации
Регенеративный оператор УГМ является CPTP-каналом:
R α ( ρ ) = ( 1 − α ) ρ + α φ ( ρ ) \mathcal{R}_\alpha(\rho) = (1-\alpha)\rho + \alpha\varphi(\rho) R α ( ρ ) = ( 1 − α ) ρ + α φ ( ρ ) с α = κ ( Γ ) ⋅ g V ( P ) ⋅ Δ τ ∈ [ 0 , 1 ] \alpha = \kappa(\Gamma) \cdot g_V(P) \cdot \Delta\tau \in [0,1] α = κ ( Γ ) ⋅ g V ( P ) ⋅ Δ τ ∈ [ 0 , 1 ] K ~ 0 = 1 − α I \tilde{K}_0 = \sqrt{1-\alpha}I K ~ 0 = 1 − α I K ~ k = α K k \tilde{K}_k = \sqrt{\alpha}K_k K ~ k = α K k
Условие корректности: α < 1 ⇔ Δ τ < 1 / κ max \alpha < 1 \Leftrightarrow \Delta\tau < 1/\kappa_{\max} α < 1 ⇔ Δ τ < 1/ κ m a x
См. сохранение положительности .
См. Формализация оператора φ для деталей CPTP-каналов.
Функтор опыта
Определение F на объектах:
F : O b ( D e n s i t y M a t ) → O b ( E x p ) F: \mathrm{Ob}(\mathbf{DensityMat}) \to \mathrm{Ob}(\mathbf{Exp}) F : Ob ( DensityMat ) → Ob ( Exp ) F ( ρ ) : = ( S p e c t r u m ( ρ E ) , Q u a l i t y ( ρ E ) , C o n t e x t ( Γ − E ) , H i s t o r y ( t ) ) F(\rho) := (\mathrm{Spectrum}(\rho_E), \mathrm{Quality}(\rho_E), \mathrm{Context}(\Gamma_{-E}), \mathrm{History}(t)) F ( ρ ) := ( Spectrum ( ρ E ) , Quality ( ρ E ) , Context ( Γ − E ) , History ( t )) Теорема (Функториальность) :F F F
Доказательство:
F ( i d ρ ) = i d F ( ρ ) F(\mathrm{id}_\rho) = \mathrm{id}_{F(\rho)} F ( id ρ ) = id F ( ρ ) F ( Ψ ∘ Φ ) = F ( Ψ ) ∘ F ( Φ ) F(\Psi \circ \Phi) = F(\Psi) \circ F(\Phi) F ( Ψ ∘ Φ ) = F ( Ψ ) ∘ F ( Φ )
Топология Гротендика
Для построения ∞-топоса S h ∞ ( C ) \mathbf{Sh}_\infty(\mathcal{C}) Sh ∞ ( C )
Метрика Бюреса
Определение (хордовая форма):
d B c h o r d ( Γ 1 , Γ 2 ) : = 2 ( 1 − F ( Γ 1 , Γ 2 ) ) d_B^{\mathrm{chord}}(\Gamma_1, \Gamma_2) := \sqrt{2\left(1 - \sqrt{F(\Gamma_1, \Gamma_2)}\right)} d B chord ( Γ 1 , Γ 2 ) := 2 ( 1 − F ( Γ 1 , Γ 2 ) ) где F ( Γ 1 , Γ 2 ) = ( T r Γ 1 Γ 2 Γ 1 ) 2 F(\Gamma_1, \Gamma_2) = \left(\mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt{\Gamma_1}\Gamma_2\sqrt{\Gamma_1}}\right)^2 F ( Γ 1 , Γ 2 ) = ( Tr Γ 1 Γ 2 Γ 1 ) 2
Конвенция: две формы d B d_B d B В УГМ используются две формы метрики Бюреса. Здесь применяется хордовая (d B c h o r d ∈ [ 0 , 2 ] d_B^{\mathrm{chord}} \in [0, \sqrt{2}] d B chord ∈ [ 0 , 2 ] d B a n g l e = arccos ( F ) d_B^{\mathrm{angle}} = \arccos(\sqrt{F}) d B angle = arccos ( F ) полную конвенцию .
Свойства:
d B c h o r d ∈ [ 0 , 2 ] d_B^{\mathrm{chord}} \in [0, \sqrt{2}] d B chord ∈ [ 0 , 2 ] d B c h o r d ( Γ , Γ ) = 0 d_B^{\mathrm{chord}}(\Gamma, \Gamma) = 0 d B chord ( Γ , Γ ) = 0 Монотонность: d B c h o r d ( Ψ ( ρ ) , Ψ ( σ ) ) ≤ d B c h o r d ( ρ , σ ) d_B^{\mathrm{chord}}(\Psi(\rho), \Psi(\sigma)) \leq d_B^{\mathrm{chord}}(\rho, \sigma) d B chord ( Ψ ( ρ ) , Ψ ( σ )) ≤ d B chord ( ρ , σ ) Ψ \Psi Ψ
Риманова метрика на многообразии матриц плотности
Bures-покрытия
Определение (Сайт DensityMat):
Семейство морфизмов { Ψ i : Γ i → Γ } i ∈ I \{\Psi_i: \Gamma_i \to \Gamma\}_{i \in I} { Ψ i : Γ i → Γ } i ∈ I покрытие объекта Γ \Gamma Γ
∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : B B ( Γ , δ ) ⊆ ⋃ i ∈ I Ψ i ( B B ( Γ i , ϵ ) ) \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: \quad B_B(\Gamma, \delta) \subseteq \bigcup_{i \in I} \Psi_i(B_B(\Gamma_i, \epsilon)) ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : B B ( Γ , δ ) ⊆ i ∈ I ⋃ Ψ i ( B B ( Γ i , ϵ )) Аксиомы сайта:
Идентичность: { i d Γ } \{\mathrm{id}_\Gamma\} { id Γ } Γ \Gamma Γ Стабильность: Pullback покрытия — покрытиеТранзитивность: Композиция покрытий — покрытие
Связь с ∞-топосом
Суперскрипт "loc" в определении S h ∞ ( C ) l o c \mathbf{Sh}_\infty(\mathcal{C})^{loc} Sh ∞ ( C ) l oc
F — пучок ⇔ F ( X ) → ∼ lim { U → X } ∈ Cov ( X ) F ( U ) F \text{ — пучок} \Leftrightarrow F(X) \xrightarrow{\sim} \lim_{\{U \to X\} \in \text{Cov}(X)} F(U) F — пучок ⇔ F ( X ) ∼ { U → X } ∈ Cov ( X ) lim F ( U ) Классификатор подобъектов:
Ω : = O ( C , d B ) \Omega := \mathcal{O}(\mathcal{C}, d_B) Ω := O ( C , d B ) — решётка открытых множеств в Bures-топологии.
См. Категорный формализм: Топология Гротендика для полной спецификации.
Теорема о невозможности спектрального функтора
Не существует функтора F : D e n s i t y M a t → E x p F: \mathbf{DensityMat} \to \mathbf{Exp} F : DensityMat → Exp только через спектр.
Доказательство:
Пусть F = G ∘ S p e c F = G \circ \mathrm{Spec} F = G ∘ Spec S p e c : ρ ↦ S p e c t r u m ( ρ ) \mathrm{Spec}: \rho \mapsto \mathrm{Spectrum}(\rho) Spec : ρ ↦ Spectrum ( ρ )
Рассмотрим изоспектральные ρ 1 ≠ ρ 2 \rho_1 \neq \rho_2 ρ 1 = ρ 2
Тогда F ( ρ 1 ) = F ( ρ 2 ) F(\rho_1) = F(\rho_2) F ( ρ 1 ) = F ( ρ 2 )
Но ρ 1 \rho_1 ρ 1 ρ 2 \rho_2 ρ 2
Противоречие ∎
Следствие: Полный функтор F F F
Меры сознательности
Мера рефлексии
См. Самонаблюдение: Мера рефлексии R .
R ( Γ ) : = 1 7 P ( Γ ) , P = T r ( Γ 2 ) R(\Gamma) := \frac{1}{7P(\Gamma)}, \quad P = \mathrm{Tr}(\Gamma^2) R ( Γ ) := 7 P ( Γ ) 1 , P = Tr ( Γ 2 ) Эквивалентная форма через норму Фробениуса: R = 1 − ∥ Γ − ρ d i s s ∗ ∥ F 2 / ∥ Γ ∥ F 2 R = 1 - \|\Gamma - \rho^*_{\mathrm{diss}}\|_F^2 / \|\Gamma\|_F^2 R = 1 − ∥Γ − ρ diss ∗ ∥ F 2 /∥Γ ∥ F 2 ρ d i s s ∗ = I / 7 \rho^*_{\mathrm{diss}} = I/7 ρ diss ∗ = I /7 φ ( Γ ) \varphi(\Gamma) φ ( Γ ) Самонаблюдение .
Рефлексия высших порядков R ( n ) R^{(n)} R ( n )
См. Рефлексия высших порядков и Иерархия интериорности .
R ( n ) ( Γ ) : = F ( φ ( n − 1 ) ( Γ ) , φ ( n ) ( Γ ) ) ∈ [ 0 , 1 ] R^{(n)}(\Gamma) := F(\varphi^{(n-1)}(\Gamma), \varphi^{(n)}(\Gamma)) \in [0, 1] R ( n ) ( Γ ) := F ( φ ( n − 1 ) ( Γ ) , φ ( n ) ( Γ )) ∈ [ 0 , 1 ] где:
φ ( k ) \varphi^{(k)} φ ( k ) k k k F ( ρ , σ ) F(\rho, \sigma) F ( ρ , σ )
Интерпретация: R ( n ) R^{(n)} R ( n )
Связь с уровнями интериорности:
L2 требует R = R ( 1 ) ≥ 1 / 3 R = R^{(1)} \geq 1/3 R = R ( 1 ) ≥ 1/3
L3 требует R ( 2 ) ≥ 1 / 4 R^{(2)} \geq 1/4 R ( 2 ) ≥ 1/4
L4 требует lim n R ( n ) > 0 \lim_n R^{(n)} > 0 lim n R ( n ) > 0
Универсальная формула порогов рефлексии
Пороги рефлексии следуют единой закономерности (байесовское доминирование над n + 1 n+1 n + 1
R t h ( n ) = 1 n + 1 R^{(n)}_{\mathrm{th}} = \frac{1}{n+1} R th ( n ) = n + 1 1 Переход Мера Порог Статус Вывод L0→L1 Φ \Phi Φ > 0 > 0 > 0 Структурное условие (любая интеграция) L1→L2 R , Φ , D diff R, \Phi, D_{\text{diff}} R , Φ , D diff 1 / 3 , 1 , 2 1/3, 1, 2 1/3 , 1 , 2 [Т],[Т],[Т] R R R Φ \Phi Φ D min D_{\min} D m i n L2→L3 R ( 2 ) R^{(2)} R ( 2 ) 1 / 4 1/4 1/4 [Т] 1 / ( 3 + 1 ) 1/(3+1) 1/ ( 3 + 1 ) L3→L4 lim R ( n ) \lim R^{(n)} lim R ( n ) > 0 > 0 > 0 [Т] стабилизация Постникова
Происхождение и статус порогов
P crit = 2 / 7 P_{\text{crit}} = 2/7 P crit = 2/7 [Т] — строго доказано (пять независимых путей)R th = 1 / 3 R_{\text{th}} = 1/3 R th = 1/3 [Т] — K = 3 K=3 K = 3 триадной декомпозиции + байесовское доминирование Φ th = 1 \Phi_{\text{th}} = 1 Φ th = 1 [Т] — единственное самосогласованное значение при P crit = 2 / 7 P_{\text{crit}} = 2/7 P crit = 2/7 T-129 )D diff ≥ 2 D_{\text{diff}} \geq 2 D diff ≥ 2 [Т] — безусловное следствие Φ th = 1 \Phi_{\text{th}} = 1 Φ th = 1 T-151 ) Мера интеграции
См. Измерение Единства: Мера интеграции Φ .
Φ ( Γ ) : = ∑ i ≠ j ∣ γ i j ∣ 2 ∑ i γ i i 2 \Phi(\Gamma) := \frac{\sum_{i \neq j} |\gamma_{ij}|^2}{\sum_i \gamma_{ii}^2} Φ ( Γ ) := ∑ i γ ii 2 ∑ i = j ∣ γ ij ∣ 2 Мера дифференциации
D diff ( Γ ) : = exp ( S v N ( ρ E ) ) D_{\text{diff}}(\Gamma) := \exp(S_{vN}(\rho_E)) D diff ( Γ ) := exp ( S v N ( ρ E )) где S v N ( ρ E ) = − T r ( ρ E log ρ E ) S_{vN}(\rho_E) = -\mathrm{Tr}(\rho_E \log \rho_E) S v N ( ρ E ) = − Tr ( ρ E log ρ E ) энтропия фон Неймана .
Требование: расширенный формализм для D_diff
Вычисление D diff D_{\text{diff}} D diff ρ E = T r − E ( Γ ) \rho_E = \mathrm{Tr}_{-E}(\Gamma) ρ E = Tr − E ( Γ ) расширенном тензорном формализме (42D). В 7D частичный след не определён (7 — простое число).
Примечание: Скалярная мера C o h E \mathrm{Coh}_E Coh E не требует частичного следа — она определена в 7D через HS-проекцию [Т] . Расширенный формализм необходим только для спектрального разложения ρ E \rho_E ρ E D diff D_{\text{diff}} D diff
Диапазон: D diff ∈ [ 1 , N ] D_{\text{diff}} \in [1, N] D diff ∈ [ 1 , N ] N = dim ( H E ) N = \dim(\mathcal{H}_E) N = dim ( H E )
Интерпретация:
D diff = 1 D_{\text{diff}} = 1 D diff = 1 D diff = N D_{\text{diff}} = N D diff = N N N N
Альтернативное определение
В некоторых контекстах используется D diff = r a n k ( ρ E ) D_{\text{diff}} = \mathrm{rank}(\rho_E) D diff = rank ( ρ E ) exp ( S v N ) \exp(S_{vN}) exp ( S v N )
Мера сознательности
См. Самонаблюдение: Мера сознательности C .
C = Φ × R C = \Phi \times R C = Φ × R Октонионная алгебра
Определение 𝕆 (структурный вывод ) Октонионы O \mathbb{O} O R \mathbb{R} R
O = { a 0 + ∑ k = 1 7 a k e k ∣ a i ∈ R } \mathbb{O} = \{a_0 + \sum_{k=1}^{7} a_k e_k \mid a_i \in \mathbb{R}\} O = { a 0 + k = 1 ∑ 7 a k e k ∣ a i ∈ R } Таблица умножения определяется 7 триплетами плоскости Фано :
e i ⋅ e j = − δ i j + ε i j k e k e_i \cdot e_j = -\delta_{ij} + \varepsilon_{ijk} e_k e i ⋅ e j = − δ ij + ε ijk e k Группа автоморфизмов: Aut ( O ) = G 2 \text{Aut}(\mathbb{O}) = G_2 Aut ( O ) = G 2 dim ( G 2 ) = 14 \dim(G_2) = 14 dim ( G 2 ) = 14 rank ( G 2 ) = 2 \text{rank}(G_2) = 2 rank ( G 2 ) = 2
Связь с УГМ: N = dim ( Im ( O ) ) = 7 N = \dim(\text{Im}(\mathbb{O})) = 7 N = dim ( Im ( O )) = 7 двухтрековое обоснование Аксиомы 3.
Связанные документы: