Потенциальные конфликты нотации
В теории УГМ некоторые символы имеют несколько значений в зависимости от контекста:
D D D измерение Динамики vs D diff D_{\text{diff}} D diff мера дифференциации H \mathcal{H} H vs H H H vs H Γ \mathcal{H}_\Gamma H Γ Freedom )Φ \Phi Φ мера интеграции . Для обозначения произвольных CPTP-каналов используется Ψ \Psi Ψ R R R мера рефлексии vs R \mathcal{R} R C \mathcal{C} C vs C C C мера сознательности . Пространство контекстов в категории Exp обозначается Γ − E \Gamma_{-E} Γ − E γ i j \gamma_{ij} γ ij vs γ k \gamma_k γ k Рекомендация: для скоростей декогеренции использовать Γ 2 \Gamma_2 Γ 2 Теореме 8.1 ) Контекст обычно делает значение однозначным.
Связь с IIT (Integrated Information Theory)
Мера интеграции Φ \Phi Φ отличается от Φ \Phi Φ
Параметр УГМ IIT Определение Φ UHM = ∑ i ≠ j ∣ γ i j ∣ 2 / ∑ i γ i i 2 \Phi_{\text{UHM}} = \sum_{i \neq j} \lvert\gamma_{ij}\rvert^2 / \sum_i \gamma_{ii}^2 Φ UHM = ∑ i = j ∣ γ ij ∣ 2 / ∑ i γ ii 2 Φ IIT \Phi_{\text{IIT}} Φ IIT Интерпретация Когерентность между измерениями Интегрированная информация Вычислительная сложность O ( n 2 ) O(n^2) O ( n 2 ) NP-трудно
УГМ обобщает IIT: мера сознательности C = Φ × R C = \Phi \times R C = Φ × R [Т T-140] включает интеграцию Φ \Phi Φ R R R D diff ≥ D min D_{\text{diff}} \geq D_{\min} D diff ≥ D m i n
Основные символы
Символ Значение Определение C \mathcal{C} C Примитивная категория Малая категория с конечным числом объектов — единственный примитив
| Γ \Gamma Γ Матрица когерентности | Γ ∈ L ( H ) \Gamma \in \mathcal{L}(\mathcal{H}) Γ ∈ L ( H ) Γ † = Γ \Gamma^\dagger = \Gamma Γ † = Γ Γ ≥ 0 \Gamma \geq 0 Γ ≥ 0 T r ( Γ ) = 1 \mathrm{Tr}(\Gamma) = 1 Tr ( Γ ) = 1 H \mathbb{H} H Голоном | Минимальная самодостаточная единица реальности |
| H \mathcal{H} H H = C 7 \mathcal{H} = \mathbb{C}^7 H = C 7 Семь измерений |
| P P P Чистота | P = T r ( Γ 2 ) ∈ [ 1 / 7 , 1 ] P = \mathrm{Tr}(\Gamma^2) \in [1/7, 1] P = Tr ( Γ 2 ) ∈ [ 1/7 , 1 ] S v N S_{vN} S v N S v N = − T r ( Γ log Γ ) ∈ [ 0 , log 7 ] S_{vN} = -\mathrm{Tr}(\Gamma \log \Gamma) \in [0, \log 7] S v N = − Tr ( Γ log Γ ) ∈ [ 0 , log 7 ] τ \tau τ Внутреннее время | Параметр эволюции, выведенный из структуры C \mathcal{C} C τ ∈ Z 7 \tau \in \mathbb{Z}_7 τ ∈ Z 7 t , t ′ t, t' t , t ′ τ \tau τ t = n ⋅ δ τ t = n \cdot \delta\tau t = n ⋅ δ τ H eff H_{\text{eff}} H eff Эффективный гамильтониан | H eff ( τ ) = H 6 D + ⟨ τ ∣ H int ∣ τ ⟩ O H_{\text{eff}}(\tau) = H_{6D} + \langle\tau\vert H_{\text{int}}\vert\tau\rangle_O H eff ( τ ) = H 6 D + ⟨ τ ∣ H int ∣ τ ⟩ O d B d_B d B Метрика Бурес | Угловая: d B a n g l e = arccos ( F ) d_B^{\mathrm{angle}} = \arccos(\sqrt{F}) d B angle = arccos ( F ) d B c h o r d = 2 ( 1 − F ) d_B^{\mathrm{chord}} = \sqrt{2(1-\sqrt{F})} d B chord = 2 ( 1 − F ) конвенцию ниже |
Базовое пространство и стратификация
Символ Значение Определение X X X Базовое пространство X = ∥ N ( C ) ∥ X = \|N(\mathcal{C})\| X = ∥ N ( C ) ∥ N ( C ) N(\mathcal{C}) N ( C ) Нерв категории Симплициальное множество: n-симплексы = композируемые цепочки морфизмов T T T Терминальный объект T = Γ ∗ T = \Gamma^* T = Γ ∗ ∀ Γ , ∃ ! f : Γ → T \forall\Gamma, \exists! f: \Gamma \to T ∀Γ , ∃ ! f : Γ → T S α S_\alpha S α Страта Компонента стратификации X = ⨆ α S α X = \bigsqcup_\alpha S_\alpha X = ⨆ α S α S 0 = { T } S_0 = \{T\} S 0 = { T } d s t r a t d_{strat} d s t r a t Стратифицированная метрика d s t r a t ( ω 1 , ω 2 ) = inf γ ∫ γ d s α d_{strat}(\omega_1, \omega_2) = \inf_\gamma \int_\gamma ds_\alpha d s t r a t ( ω 1 , ω 2 ) = inf γ ∫ γ d s α Link ( T ) \text{Link}(T) Link ( T ) Линк терминального объекта Link ( T ) ≅ S 6 \text{Link}(T) \cong S^6 Link ( T ) ≅ S 6 H ∗ ( X ) H^*(X) H ∗ ( X ) Когомологии H n ( X , F ) = 0 H^n(X, \mathcal{F}) = 0 H n ( X , F ) = 0 n > 0 n > 0 n > 0 H l o c ∗ ( X , T ) H^*_{loc}(X,T) H l oc ∗ ( X , T ) Локальные когомологии H l o c ∗ ( X , T ) ≅ H ~ ∗ − 1 ( S 6 ) ≠ 0 H^*_{loc}(X,T) \cong \tilde{H}^{*-1}(S^6) \neq 0 H l oc ∗ ( X , T ) ≅ H ~ ∗− 1 ( S 6 ) = 0 D b ( X ) D^b(X) D b ( X ) Производная категория Ограниченная производная категория пучков на X I C ( S α ) IC(S_\alpha) I C ( S α ) IC-пучок Intersection cohomology пучок страты S α S_\alpha S α
Измерения
Семь базисных состояний пространства H \mathcal{H} H :
Символ Измерение Связанная структура Подробнее A A A Артикуляция Проекторы, измерения → S S S Структура Гамильтониан H H H → D D D Динамика Унитарная эволюция U ( τ ) U(\tau) U ( τ ) → L L L Логика Алгебра операторов → E E E Интериорность Матрица плотности ρ E \rho_E ρ E → O O O Основание Вакуумное состояние ∣ 0 ⟩ \vert 0\rangle ∣0 ⟩ Пейдж–Вуттерс ) → U U U Единство Операция следа T r \mathrm{Tr} Tr →
Базис пространства состояний
H = s p a n { ∣ A ⟩ , ∣ S ⟩ , ∣ D ⟩ , ∣ L ⟩ , ∣ E ⟩ , ∣ O ⟩ , ∣ U ⟩ } = C 7 \mathcal{H} = \mathrm{span}\{|A\rangle, |S\rangle, |D\rangle, |L\rangle, |E\rangle, |O\rangle, |U\rangle\} = \mathbb{C}^7 H = span { ∣ A ⟩ , ∣ S ⟩ , ∣ D ⟩ , ∣ L ⟩ , ∣ E ⟩ , ∣ O ⟩ , ∣ U ⟩} = C 7 Ортонормированность: ⟨ i ∣ j ⟩ = δ i j \langle i|j\rangle = \delta_{ij} ⟨ i ∣ j ⟩ = δ ij i , j ∈ { A , S , D , L , E , O , U } i, j \in \{A, S, D, L, E, O, U\} i , j ∈ { A , S , D , L , E , O , U }
Алгебра часов (Пейдж–Вуттерс)
Символ Значение Определение H O H_O H O Гамильтониан часов H O = ω 0 ∑ k = 0 N − 1 k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ O H_O = \omega_0 \sum_{k=0}^{N-1} k \vert k\rangle\langle k\vert_O H O = ω 0 ∑ k = 0 N − 1 k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ O V O V_O V O Оператор сдвига времени V O N = 1 V_O^N = \mathbb{1} V O N = 1 V O H O V O † = H O + ω 0 1 V_O H_O V_O^\dagger = H_O + \omega_0 \mathbb{1} V O H O V O † = H O + ω 0 1 A O \mathcal{A}_O A O C*-алгебра часов A O = C ∗ ( H O , V O ) ≅ M N ( C ) \mathcal{A}_O = C^*(H_O, V_O) \cong M_N(\mathbb{C}) A O = C ∗ ( H O , V O ) ≅ M N ( C ) H int H_{\text{int}} H int Гамильтониан взаимодействия Связь O с E и U C ^ \hat{C} C ^ Ограничение Пейдж–Вуттерс C ^ = H O ⊗ 1 6 D + 1 O ⊗ H 6 D + H int \hat{C} = H_O \otimes \mathbb{1}_{6D} + \mathbb{1}_O \otimes H_{6D} + H_{\text{int}} C ^ = H O ⊗ 1 6 D + 1 O ⊗ H 6 D + H int H t o t a l \mathcal{H}_{total} H t o t a l Глобальное пространство H t o t a l = H O ⊗ H 6 D \mathcal{H}_{total} = \mathcal{H}_O \otimes \mathcal{H}_{6D} H t o t a l = H O ⊗ H 6 D dim = 42 \dim = 42 dim = 42 ω 0 \omega_0 ω 0 Фундаментальная частота Базовая частота часов O ∣ τ n ⟩ \vert\tau_n\rangle ∣ τ n ⟩ Базис часов Собственные состояния V O V_O V O
Уравнение эволюции
Полное уравнение эволюции с эмерджентным внутренним временем τ:
d Γ ( τ ) d τ = − i [ H eff , Γ ] + D [ Γ ] + R [ Γ , E ] \frac{d\Gamma(\tau)}{d\tau} = -i[H_{\text{eff}}, \Gamma] + \mathcal{D}[\Gamma] + \mathcal{R}[\Gamma, E] d τ d Γ ( τ ) = − i [ H eff , Γ ] + D [ Γ ] + R [ Γ , E ] где:
Унитарный член :
− i [ H eff , Γ ] = − i ( H eff Γ − Γ H eff ) -i[H_{\text{eff}}, \Gamma] = -i(H_{\text{eff}}\Gamma - \Gamma H_{\text{eff}}) − i [ H eff , Γ ] = − i ( H eff Γ − Γ H eff ) Здесь H eff H_{\text{eff}} H eff
Диссипативный член :
D [ Γ ] = ∑ k γ k ( L k Γ L k † − 1 2 { L k † L k , Γ } ) \mathcal{D}[\Gamma] = \sum_k \gamma_k \left( L_k \Gamma L_k^\dagger - \frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k, \Gamma\} \right) D [ Γ ] = k ∑ γ k ( L k Γ L k † − 2 1 { L k † L k , Γ } ) Регенеративный член [Т]:
R [ Γ , E ] = κ ( Γ ) ⋅ ( ρ ∗ − Γ ) ⋅ g V ( P ) \mathcal{R}[\Gamma, E] = \kappa(\Gamma) \cdot (\rho_* - \Gamma) \cdot g_V(P) R [ Γ , E ] = κ ( Γ ) ⋅ ( ρ ∗ − Γ ) ⋅ g V ( P ) где:
κ ( Γ ) ≥ 0 \kappa(\Gamma) \geq 0 κ ( Γ ) ≥ 0 D Ω ⊣ R \mathcal{D}_\Omega \dashv \mathcal{R} D Ω ⊣ R ρ ∗ = φ ( Γ ) \rho_* = \varphi(\Gamma) ρ ∗ = φ ( Γ ) оператор φ )( ρ ∗ − Γ ) (\rho_* - \Gamma) ( ρ ∗ − Γ ) g V ( P ) = c l a m p ( P − P c r i t P o p t − P c r i t ) g_V(P) = \mathrm{clamp}\!\bigl(\frac{P - P_{\mathrm{crit}}}{P_{\mathrm{opt}} - P_{\mathrm{crit}}}\bigr) g V ( P ) = clamp ( P opt − P crit P − P crit ) вывод )
Коммутаторы и антикоммутаторы
Обозначение Определение [ A , B ] [A, B] [ A , B ] A B − B A AB - BA A B − B A { A , B } \{A, B\} { A , B } A B + B A AB + BA A B + B A
Операторы интериорности (измерение E)
См. Измерение Интериорности и Категория Exp .
Обозначение Значение ρ E \rho_E ρ E Редуцированная матрица плотности измерения Интериорности λ i \lambda_i λ i Собственное значение Γ \Gamma Γ ∣ q i ⟩ \vert q_i\rangle ∣ q i ⟩ Собственный вектор Γ \Gamma Γ [ ∣ q ⟩ ] [\vert q\rangle] [ ∣ q ⟩] Класс эквивалентности в P ( H E ) \mathbb{P}(\mathcal{H}_E) P ( H E ) P ( H E ) \mathbb{P}(\mathcal{H}_E) P ( H E ) Проективное пространство качествd F S d_{\mathrm{FS}} d FS Метрика Фубини-Штуди
Метрика Фубини-Штуди:
d F S ( [ ∣ ψ ⟩ ] , [ ∣ ϕ ⟩ ] ) = arccos ( ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ ) ∈ [ 0 , π / 2 ] d_{\mathrm{FS}}([|\psi\rangle], [|\phi\rangle]) = \arccos(|\langle\psi|\phi\rangle|) \in [0, \pi/2] d FS ([ ∣ ψ ⟩] , [ ∣ ϕ ⟩]) = arccos ( ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ ) ∈ [ 0 , π /2 ] Меры сознательности
См. Самонаблюдение для полных определений.
Мера Формула Диапазон Интеграция Φ \Phi Φ Φ ( Γ ) = ∑ i ≠ j ∣ γ i j ∣ 2 ∑ i γ i i 2 \Phi(\Gamma) = \dfrac{\sum_{i \neq j} \lvert\gamma_{ij}\rvert^2}{\sum_i \gamma_{ii}^2} Φ ( Γ ) = ∑ i γ ii 2 ∑ i = j ∣ γ ij ∣ 2 [ 0 , + ∞ ) [0, +\infty) [ 0 , + ∞ ) Дифференциация D diff D_{\text{diff}} D diff D diff ( Γ ) = exp ( S v N ( ρ E ) ) D_{\text{diff}}(\Gamma) = \exp(S_{vN}(\rho_E)) D diff ( Γ ) = exp ( S v N ( ρ E )) [ 1 , 7 ] [1, 7] [ 1 , 7 ] Рефлексия R R R R ( Γ ) = 1 7 P ( Γ ) R(\Gamma) = \dfrac{1}{7P(\Gamma)} R ( Γ ) = 7 P ( Γ ) 1 P = T r ( Γ 2 ) P = \mathrm{Tr}(\Gamma^2) P = Tr ( Γ 2 ) 1 − ∥ Γ − I / 7 ∥ F 2 P 1 - \dfrac{\|\Gamma - I/7\|_F^2}{P} 1 − P ∥Γ − I /7 ∥ F 2 [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] Сознательность C C C C ( Γ ) = Φ × R C(\Gamma) = \Phi \times R C ( Γ ) = Φ × R [Т] (T-140); D diff ≥ 2 D_{\text{diff}} \geq 2 D diff ≥ 2 [ 0 , + ∞ ) [0, +\infty) [ 0 , + ∞ ) Свобода воли F r e e d o m ( Γ ) \mathrm{Freedom}(\Gamma) Freedom ( Γ ) [Т] F r e e d o m ( Γ ) = dim ker ( H Γ ) + 1 \mathrm{Freedom}(\Gamma) = \dim\ker(\mathcal{H}_\Gamma) + 1 Freedom ( Γ ) = dim ker ( H Γ ) + 1 H Γ = ∂ 2 F / ∂ Γ 2 \mathcal{H}_\Gamma = \partial^2 \mathcal{F}/\partial\Gamma^2 H Γ = ∂ 2 F / ∂ Γ 2 конечномерное определение . ∞-категорная мотивация: π 0 ( M a p ( Γ , T ) non-trivial ) \pi_0(\mathrm{Map}(\Gamma, T)^{\text{non-trivial}}) π 0 ( Map ( Γ , T ) non-trivial ) { 1 , … , 7 } \{1, \ldots, 7\} { 1 , … , 7 } Энтропия свободы S freedom S_{\text{freedom}} S freedom S freedom = log ( Freedom ( Γ ) ) S_{\text{freedom}} = \log(\text{Freedom}(\Gamma)) S freedom = log ( Freedom ( Γ )) [ 0 , log 7 ] [0, \log 7] [ 0 , log 7 ]
Оператор самомоделирования
См. Формализация оператора φ для полного описания.
CPTP-канал (Completely Positive Trace-Preserving):
φ ( Γ ) = ∑ m K m Γ K m † \varphi(\Gamma) = \sum_m K_m \Gamma K_m^\dagger φ ( Γ ) = m ∑ K m Γ K m † Условие полноты (сохранение следа):
∑ m K m † K m = I \sum_m K_m^\dagger K_m = I m ∑ K m † K m = I Сходимость к неподвижной точке Γ ∗ = φ ( Γ ∗ ) \Gamma^* = \varphi(\Gamma^*) Γ ∗ = φ ( Γ ∗ )
∥ φ n ( Γ 0 ) − Γ ∗ ∥ F ≤ k n ⋅ ∥ Γ 0 − Γ ∗ ∥ F , k ∈ [ 0 , 1 ) \|\varphi^n(\Gamma_0) - \Gamma^*\|_F \leq k^n \cdot \|\Gamma_0 - \Gamma^*\|_F, \quad k \in [0, 1) ∥ φ n ( Γ 0 ) − Γ ∗ ∥ F ≤ k n ⋅ ∥ Γ 0 − Γ ∗ ∥ F , k ∈ [ 0 , 1 ) Иерархия интериорности
См. Иерархия интериорности для формальных условий и доказательств.
Уровень Обозначение Условие n-усечение L0 I n t ( S ) \mathrm{Int}(S) Int ( S ) ∃ ρ E \exists \rho_E ∃ ρ E τ ≤ 0 \tau_{\leq 0} τ ≤ 0 L1 P G ( S ) \mathrm{PG}(S) PG ( S ) r a n k ( ρ E ) > 1 \mathrm{rank}(\rho_E) > 1 rank ( ρ E ) > 1 τ ≤ 1 \tau_{\leq 1} τ ≤ 1 L2 Когнитивные квалиа R ≥ R th R \geq R_{\text{th}} R ≥ R th Φ ≥ Φ th \Phi \geq \Phi_{\text{th}} Φ ≥ Φ th D diff ≥ 2 D_{\text{diff}} \geq 2 D diff ≥ 2 τ ≤ 2 \tau_{\leq 2} τ ≤ 2 L3 Сетевое сознание R ( 2 ) ≥ R th ( 2 ) R^{(2)} \geq R^{(2)}_{\text{th}} R ( 2 ) ≥ R th ( 2 ) τ ≤ 3 \tau_{\leq 3} τ ≤ 3 L4 Унитарное сознание lim n → ∞ R ( n ) > 0 \lim_{n \to \infty} R^{(n)} > 0 lim n → ∞ R ( n ) > 0 P > 6 / 7 P > 6/7 P > 6/7 τ ≤ ∞ \tau_{\leq \infty} τ ≤ ∞
Пороговые значения (все доказаны математически [Т] , обоснования порогов ):
Порог Значение Статус R th R_{\text{th}} R th 1 / 3 1/3 1/3 [Т] Теорема (K = 3 K=3 K = 3 Φ th \Phi_{\text{th}} Φ th 1 1 1 [Т] Теорема (T-129: единственное самосогласованное значение) R th ( 2 ) R^{(2)}_{\text{th}} R th ( 2 ) 1 / 4 1/4 1/4 [Т] Теорема (порог L3) X th ( n ) X^{(n)}_{\text{th}} X th ( n ) 1 / ( n + 1 ) 1/(n+1) 1/ ( n + 1 ) [Т] Универсальная формула
Тензор напряжений
См. Жизнеспособность для полного описания.
σ s y s ( Γ ) = [ σ A , σ S , σ D , σ L , σ E , σ O , σ U ] T ∈ R 7 \sigma_{\mathrm{sys}}(\Gamma) = [\sigma_A, \sigma_S, \sigma_D, \sigma_L, \sigma_E, \sigma_O, \sigma_U]^T \in \mathbb{R}^7 σ sys ( Γ ) = [ σ A , σ S , σ D , σ L , σ E , σ O , σ U ] T ∈ R 7 Условие жизнеспособности:
∥ σ s y s ( Γ ) ∥ ∞ < 1 \|\sigma_{\mathrm{sys}}(\Gamma)\|_\infty < 1 ∥ σ sys ( Γ ) ∥ ∞ < 1 Запас жизнеспособности:
m a r g i n ( Γ ) = 1 − ∥ σ s y s ( Γ ) ∥ ∞ > 0 \mathrm{margin}(\Gamma) = 1 - \|\sigma_{\mathrm{sys}}(\Gamma)\|_\infty > 0 margin ( Γ ) = 1 − ∥ σ sys ( Γ ) ∥ ∞ > 0 Топология Гротендика
См. Топология Гротендика и Категорный формализм .
Метрика Бюреса (канонический вид):
d B ( Γ 1 , Γ 2 ) = arccos ( T r Γ 1 Γ 2 Γ 1 ) = arccos ( F ) d_B(\Gamma_1, \Gamma_2) = \arccos\left(\mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt{\Gamma_1}\Gamma_2\sqrt{\Gamma_1}}\right) = \arccos(\sqrt{F}) d B ( Γ 1 , Γ 2 ) = arccos ( Tr Γ 1 Γ 2 Γ 1 ) = arccos ( F ) Fidelity (верность):
F i d ( Γ 1 , Γ 2 ) = ( T r Γ 1 Γ 2 Γ 1 ) 2 \mathrm{Fid}(\Gamma_1, \Gamma_2) = \left(\mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt{\Gamma_1}\Gamma_2\sqrt{\Gamma_1}}\right)^2 Fid ( Γ 1 , Γ 2 ) = ( Tr Γ 1 Γ 2 Γ 1 ) 2 F i d \mathrm{Fid} Fid F F F функтором опыта F : D e n s i t y M a t → E x p F: \mathbf{DensityMat} \to \mathbf{Exp} F : DensityMat → Exp F F F
УГМ использует обе формы в зависимости от контекста:
Форма Формула Применение Угловая d B a n g l e = arccos ( F ) d_B^{angle} = \arccos(\sqrt{F}) d B an g l e = arccos ( F ) Геометрические теоремы (эмерджентное время ) Хордовая d B c h o r d = 2 ( 1 − F ) d_B^{chord} = \sqrt{2(1-\sqrt{F})} d B c h or d = 2 ( 1 − F ) Вычисления, ΔF , спецификация
Связь: d B c h o r d = 2 ( 1 − cos ( d B a n g l e ) ) ≈ 2 ⋅ d B a n g l e d_B^{chord} = \sqrt{2(1 - \cos(d_B^{angle}))} \approx \sqrt{2} \cdot d_B^{angle} d B c h or d = 2 ( 1 − cos ( d B an g l e )) ≈ 2 ⋅ d B an g l e
Bures-шар:
B B ( Γ , r ) = { Σ ∈ C : d B ( Γ , Σ ) < r } B_B(\Gamma, r) = \{\Sigma \in \mathcal{C} : d_B(\Gamma, \Sigma) < r\} B B ( Γ , r ) = { Σ ∈ C : d B ( Γ , Σ ) < r } Bures-покрытие: Семейство { Φ i : Γ i → Γ } i ∈ I \{\Phi_i: \Gamma_i \to \Gamma\}_{i \in I} { Φ i : Γ i → Γ } i ∈ I Γ \Gamma Γ
∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : B B ( Γ , δ ) ⊆ ⋃ i ∈ I Φ i ( B B ( Γ i , ϵ ) ) \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: \quad B_B(\Gamma, \delta) \subseteq \bigcup_{i \in I} \Phi_i(B_B(\Gamma_i, \epsilon)) ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : B B ( Γ , δ ) ⊆ i ∈ I ⋃ Φ i ( B B ( Γ i , ϵ )) Сайт: Пара ( C , J B u r e s ) (\mathcal{C}, J_{Bures}) ( C , J B u res ) J B u r e s J_{Bures} J B u res
Классификатор из топологии:
Ω = O ( C , d B ) \Omega = \mathcal{O}(\mathcal{C}, d_B) Ω = O ( C , d B ) Специальные обозначения
Обозначение Значение ∥ ⋅ ∥ F \lVert\cdot\rVert_F ∥ ⋅ ∥ F Норма Фробениуса: ∥ A ∥ F = T r ( A † A ) = ∑ i j ∣ a i j ∣ 2 \lVert A\rVert_F = \sqrt{\mathrm{Tr}(A^\dagger A)} = \sqrt{\sum_{ij} \lvert a_{ij}\rvert^2} ∥ A ∥ F = Tr ( A † A ) = ∑ ij ∣ a ij ∣ 2 ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ Супремум-норма: ∥ x ∥ ∞ = max i ∣ x i ∣ \lVert x\rVert_\infty = \max_i \lvert x_i\rvert ∥ x ∥ ∞ = max i ∣ x i ∣ d B ( ⋅ , ⋅ ) d_B(\cdot, \cdot) d B ( ⋅ , ⋅ ) Метрика Бюреса F i d ( ⋅ , ⋅ ) \mathrm{Fid}(\cdot, \cdot) Fid ( ⋅ , ⋅ ) F ( ⋅ , ⋅ ) F(\cdot, \cdot) F ( ⋅ , ⋅ ) Fidelity (верность); F i d \mathrm{Fid} Fid F F F B B ( Γ , r ) B_B(\Gamma, r) B B ( Γ , r ) Bures-шар радиуса r r r Γ \Gamma Γ J B u r e s J_{Bures} J B u res Функция Bures-покрытий (топология Гротендика) Θ ( ⋅ ) \Theta(\cdot) Θ ( ⋅ ) Функция Хевисайда δ i j \delta_{ij} δ ij Символ Кронекера T r ( ⋅ ) \mathrm{Tr}(\cdot) Tr ( ⋅ ) След матрицы A † A^\dagger A † Эрмитово сопряжение C o h E \mathrm{Coh}_E Coh E E-когерентность (HS-проекция π E \pi_E π E [Т] , ∈ [ 1 / 7 , 1 ] \in [1/7, 1] ∈ [ 1/7 , 1 ] = ∥ π E ( Γ ) ∥ H S 2 / ∥ Γ ∥ H S 2 = \|\pi_E(\Gamma)\|_{\mathrm{HS}}^2 / \|\Gamma\|_{\mathrm{HS}}^2 = ∥ π E ( Γ ) ∥ HS 2 /∥Γ ∥ HS 2 мастер-определение , HS-проекция , справка КК ПИР Принцип Информационной Различимости [О] (T16) — определение , встроенное в A1+A2: различимость по J Bures J_{\text{Bures}} J Bures φ coh \varphi_{\text{coh}} φ coh Когерентно-сохраняющее самомоделирование — обобщённый оператор φ, сохраняющий когерентности (Фано-канал )
| κ ( Γ ) \kappa(\Gamma) κ ( Γ ) κ ( Γ ) = κ bootstrap + κ 0 ⋅ C o h E \kappa(\Gamma) = \kappa_{\text{bootstrap}} + \kappa_0 \cdot \mathrm{Coh}_E κ ( Γ ) = κ bootstrap + κ 0 ⋅ Coh E D diff D_{\text{diff}} D diff Γ \Gamma Γ I / N I/N I / N
| P crit P_{\text{crit}} P crit = 2 / N = 2 / 7 = 2/N = 2/7 = 2/ N = 2/7 теорема |
| d B c h o r d d_B^{chord} d B c h or d d B c h o r d = 2 ( 1 − F ( ρ , σ ) ) d_B^{chord} = \sqrt{2(1 - \sqrt{F(\rho, \sigma)})} d B c h or d = 2 ( 1 − F ( ρ , σ ) )
Категорная нотация
См. Категорный формализм для полного описания.
Обозначение Значение C \mathcal{C} C Примитивная категория УГМ — единственный примитивD e n s i t y M a t \mathbf{DensityMat} DensityMat Категория матриц плотности E x p \mathbf{Exp} Exp Категория экспериенциальных состояний H o l \mathbf{Hol} Hol Категория Голономов T T T Терминальный объект — ∀ Γ , ∃ ! f : Γ → T \forall\Gamma, \exists! f: \Gamma \to T ∀Γ , ∃ ! f : Γ → T F : D e n s i t y M a t → E x p F: \mathbf{DensityMat} \to \mathbf{Exp} F : DensityMat → Exp Функтор опыта C P T P \mathrm{CPTP} CPTP Completely Positive Trace-Preserving каналы M o r ( ρ 1 , ρ 2 ) \mathrm{Mor}(\rho_1, \rho_2) Mor ( ρ 1 , ρ 2 ) Морфизмы между объектами ⊗ \otimes ⊗ Тензорное произведение (композиция Голономов) E x p ∞ \mathbf{Exp}_\infty Exp ∞ ∞-группоид опыта E x p ∞ d i s c \mathbf{Exp}^{disc}_\infty Exp ∞ d i sc Дискретный ∞-группоид для N < ∞ N < \infty N < ∞ S h ∞ ( E x p ) \mathbf{Sh}_\infty(\mathbf{Exp}) Sh ∞ ( Exp ) ∞-топос ∞-пучков над ExpΩ E x p ∞ \Omega\mathbf{Exp}_\infty Ω Exp ∞ Пространство петель — эмерджентная история D b ( X ) D^b(X) D b ( X ) Производная категория пучков на XP e r v ( X ) \mathbf{Perv}(X) Perv ( X ) Категория перверсных пучков T H \mathcal{T}_H T H ∞-топос Голономов с HoTT как внутренней логикойS h ∞ ( C ) \mathrm{Sh}_\infty(\mathcal{C}) Sh ∞ ( C ) ∞-топос пучков на категории C \mathcal{C} C Ω 7 \Omega^7 Ω 7 M a p ( Γ , T ) \mathrm{Map}(\Gamma, T) Map ( Γ , T ) Пространство морфизмов в ∞-категории (mapping space) π n ( X ) \pi_n(X) π n ( X ) n-ая гомотопическая группа пространства X X X ≃ \simeq ≃ Слабая гомотопическая эквивалентность Ω \Omega Ω Классификатор подобъектов — единый источник L, L_k, τχ S \chi_S χ S Характеристический морфизм подобъекта S: χ S : Γ → Ω \chi_S: \Gamma \to \Omega χ S : Γ → Ω L k L_k L k Операторы Линдблада : L k = P k = ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ L_k = P_k = \lvert k\rangle\langle k\rvert L k = P k = ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ вывод ). Запись L k = χ S k L_k = \sqrt{\chi_{S_k}} L k = χ S k P = P \sqrt{P} = P P = P L 0 \mathcal{L}_0 L 0 Линейный лиувиллиан (без регенерации): L 0 = − i [ H eff , ⋅ ] + ∑ k D L k \mathcal{L}_0 = -i[H_{\text{eff}},\cdot] + \sum_k D_{L_k} L 0 = − i [ H eff , ⋅ ] + ∑ k D L k T-39a [Т] ; единственный аттрактор I / 7 I/7 I /7 L Ω \mathcal{L}_\Omega L Ω Полный логический лиувиллиан : L Ω = L 0 + R \mathcal{L}_\Omega = \mathcal{L}_0 + \mathcal{R} L Ω = L 0 + R ρ Ω ∗ ≠ I / 7 \rho^*_\Omega \neq I/7 ρ Ω ∗ = I /7 ▹ \triangleright ▹ Темпоральная модальность на Ω; τ n = ▹ n ( n o w ) \tau_n = \triangleright^n(\mathrm{now}) τ n = ▹ n ( now ) D Ω ⊣ R \mathcal{D}_\Omega \dashv \mathcal{R} D Ω ⊣ R Сопряжение диссипации-регенерации ; κ 0 = ∥ N a t ( D Ω , R ) ∥ \kappa_0 = \|\mathrm{Nat}(\mathcal{D}_\Omega, \mathcal{R})\| κ 0 = ∥ Nat ( D Ω , R ) ∥ (МП) Принцип минимального представления (историческое условие, теперь [Т] T11–T13): среди эквивалентных BIBD( 7 , 3 , λ ) (7,3,\lambda) ( 7 , 3 , λ ) λ = 1 \lambda = 1 λ = 1 b = 7 b=7 b = 7 [Т] . Мост к P1+P2 (КГ) Каноническая группировка (историческое): категориально натуральный механизм группировки атомов Ω в составные блоки. Заменено более слабым (МП), которое в свою очередь доказано как теорема T11–T13
Нотация Кибернетики Когерентности
См. Кибернетика Когерентности для полного описания.
Обозначение Значение V \mathcal{V} V Область жизнеспособности V I T \mathrm{VIT} VIT Тензор целостности жизнеспособности (Viability Integrity Tensor) κ bootstrap \kappa_{\text{bootstrap}} κ bootstrap Минимальная скорость регенерации: κ bootstrap = ω 0 / 7 \kappa_{\text{bootstrap}} = \omega_0/7 κ bootstrap = ω 0 /7 [О] масштаб; разрешает bootstrap-парадокс κ 0 \kappa_0 κ 0 Категориальная норма: $\kappa_0 = \omega_0 \cdot κ ( Γ ) \kappa(\Gamma) κ ( Γ ) Эффективная скорость регенерации: κ ( Γ ) = κ bootstrap + κ 0 ⋅ C o h E ( Γ ) \kappa(\Gamma) = \kappa_{\text{bootstrap}} + \kappa_0 \cdot \mathrm{Coh}_E(\Gamma) κ ( Γ ) = κ bootstrap + κ 0 ⋅ Coh E ( Γ ) [Т] C o h E \mathrm{Coh}_E Coh E E E E [Т] : C o h E ( Γ ) = ∥ π E ( Γ ) ∥ H S 2 ∥ Γ ∥ H S 2 = γ E E 2 + 2 ∑ i ≠ E ∣ γ E i ∣ 2 T r ( Γ 2 ) \mathrm{Coh}_E(\Gamma) = \dfrac{\|\pi_E(\Gamma)\|_{\mathrm{HS}}^2}{\|\Gamma\|_{\mathrm{HS}}^2} = \dfrac{\gamma_{EE}^2 + 2\sum_{i \neq E}\lvert\gamma_{Ei}\rvert^2}{\mathrm{Tr}(\Gamma^2)} Coh E ( Γ ) = ∥Γ ∥ HS 2 ∥ π E ( Γ ) ∥ HS 2 = Tr ( Γ 2 ) γ EE 2 + 2 ∑ i = E ∣ γ E i ∣ 2 каноническая формула (мастер-определение , HS-проекция )P E P_E P E Чистота E-сектора (42D): P E = T r ( ρ E 2 ) P_E = \mathrm{Tr}(\rho_E^2) P E = Tr ( ρ E 2 ) ρ E = T r − E ( Γ ) \rho_E = \mathrm{Tr}_{-E}(\Gamma) ρ E = Tr − E ( Γ ) теоретическая конструкция , определена только в расширенном 42D формализме (H = C 42 \mathcal{H} = \mathbb{C}^{42} H = C 42 C o h E ≈ P E \mathrm{Coh}_E \approx P_E Coh E ≈ P E структурная гипотеза [Г] (подробнее ) P crit P_{\text{crit}} P crit Критическая чистота = 2 / 7 ≈ 0.286 = 2/7 \approx 0.286 = 2/7 ≈ 0.286 теорема θ i \theta_i θ i Пороги компонент стресса H eff H_{\text{eff}} H eff Эффективный гамильтониан: H eff ( τ ) = H 6 D + ⟨ τ ∣ H int ∣ τ ⟩ O H_{\text{eff}}(\tau) = H_{6D} + \langle\tau\vert H_{\text{int}}\vert\tau\rangle_O H eff ( τ ) = H 6 D + ⟨ τ ∣ H int ∣ τ ⟩ O g V ( P ) g_V(P) g V ( P ) V-preservation gate: c l a m p ( P − P c r i t P o p t − P c r i t , 0 , 1 ) \mathrm{clamp}\!\bigl(\frac{P - P_{\mathrm{crit}}}{P_{\mathrm{opt}} - P_{\mathrm{crit}}}, 0, 1\bigr) clamp ( P opt − P crit P − P crit , 0 , 1 ) P > P c r i t P > P_{\mathrm{crit}} P > P crit вывод ) Θ ( Δ F ) \Theta(\Delta F) Θ ( Δ F ) Функция Хевисайда от изменения свободной энергии Δ F \Delta F Δ F g V ( P ) g_V(P) g V ( P ) ρ ∗ \rho_* ρ ∗ = Γ target = \Gamma_{\text{target}} = Γ target Единственное стационарное состояние L Ω \mathcal{L}_\Omega L Ω ρ ∗ = φ ( Γ ) = lim τ → ∞ e τ L Ω [ Γ ] \rho_* = \varphi(\Gamma) = \lim_{\tau\to\infty} e^{\tau\mathcal{L}_\Omega}[\Gamma] ρ ∗ = φ ( Γ ) = lim τ → ∞ e τ L Ω [ Γ ] ω 0 \omega_0 ω 0 Фундаментальная частота часов — параметр вычислительного приближения; см. κ₀ D K L D_{\mathrm{KL}} D KL Расхождение Кульбака-Лейблера: D K L ( p ∥ q ) = ∑ i p i log ( p i / q i ) D_{\mathrm{KL}}(p \| q) = \sum_i p_i \log(p_i / q_i) D KL ( p ∥ q ) = ∑ i p i log ( p i / q i )
Индексы измерений (Протокол измерения)
Эмпирические индексы для измерения проекций Γ в ИИ-системах. См. Протокол измерения для полного описания.
Индекс Измерение ИИ-метрика Формула I A I_A I A Артикуляция Взаимная информация вход↔латент I A = I ( input ; latent ) / H ( input ) I_A = I(\text{input}; \text{latent}) / H(\text{input}) I A = I ( input ; latent ) / H ( input ) I S I_S I S Структура Ранг Якобиана I S = r a n k ε ( J f ) / min ( d out , d in ) I_S = \mathrm{rank}_\varepsilon(J_f) / \min(d_{\text{out}}, d_{\text{in}}) I S = rank ε ( J f ) / min ( d out , d in ) I D I_D I D Динамика Ляпуновский экспонент I D = max i λ i Lyap I_D = \max_i \lambda_i^{\text{Lyap}} I D = max i λ i Lyap I L I_L I L Логика Коммутаторы слоёв I L = 1 − ∥ [ f i , f j ] ∥ F / ( ∥ f i ∥ ⋅ ∥ f j ∥ ) I_L = 1 - \|[f_i, f_j]\|_F / (\|f_i\| \cdot \|f_j\|) I L = 1 − ∥ [ f i , f j ] ∥ F / ( ∥ f i ∥ ⋅ ∥ f j ∥ ) I E I_E I E Интериорность Дифференциация (энтропия) I E = D diff approx = exp ( S v N ( ρ attn ) ) I_E = D_{\text{diff}}^{\text{approx}} = \exp(S_{vN}(\rho_{\text{attn}})) I E = D diff approx = exp ( S v N ( ρ attn )) см. измерение E I O I_O I O Основание Устойчивость к шуму I O = 1 − ∥ ∇ ϵ h ∥ F I_O = 1 - \|\nabla_\epsilon \mathbf{h}\|_F I O = 1 − ∥ ∇ ϵ h ∥ F I U I_U I U Единство Effective Φ (интеграция) I U = Φ eff = λ 2 ( L attn ) / λ max ( L attn ) I_U = \Phi_{\text{eff}} = \lambda_2(L_{\text{attn}}) / \lambda_{\max}(L_{\text{attn}}) I U = Φ eff = λ 2 ( L attn ) / λ m a x ( L attn ) см. измерение U
Связь с Γ: Диагональные элементы γ i i ≈ I i 2 \gamma_{ii} \approx I_i^2 γ ii ≈ I i 2
Дополнительные прикладные символы
Обозначение Значение G G G Квази-функтор A I S t a t e → D e n s i t y M a t \mathbf{AIState} \to \mathbf{DensityMat} AIState → DensityMat J P J_P J P Поток когерентности: J P = d P / d τ J_P = dP/d\tau J P = d P / d τ ε functor \varepsilon_{\text{functor}} ε functor Верхняя граница ошибки квази-функтора G G G P norm P_{\text{norm}} P norm Нормализованная чистота: ( P − P crit ) / ( 1 − P crit ) (P - P_{\text{crit}}) / (1 - P_{\text{crit}}) ( P − P crit ) / ( 1 − P crit ) r \mathbf{r} r Обобщённый вектор Блоха: Γ = I / N + ∑ k r k λ k / 2 \Gamma = I/N + \sum_k r_k \lambda_k / 2 Γ = I / N + ∑ k r k λ k /2
Октонионная нотация
См. Структурный вывод через октонионы для полного описания.
Обозначение Значение O \mathbb{O} O Алгебра октонионов — 8-мерная нормативная алгебра с делением над R \mathbb{R} R I m ( O ) \mathrm{Im}(\mathbb{O}) Im ( O ) Мнимая часть октонионов; dim ( I m ( O ) ) = 7 \dim(\mathrm{Im}(\mathbb{O})) = 7 dim ( Im ( O )) = 7 e 1 , … , e 7 e_1, \ldots, e_7 e 1 , … , e 7 Мнимые единицы октонионов; e i 2 = − 1 e_i^2 = -1 e i 2 = − 1 e i e j = − e j e i e_i e_j = -e_j e_i e i e j = − e j e i i ≠ j i \neq j i = j G 2 G_2 G 2 A u t ( O ) \mathrm{Aut}(\mathbb{O}) Aut ( O ) G 2 ⊂ S O ( 7 ) G_2 \subset SO(7) G 2 ⊂ SO ( 7 ) P G ( 2 , 2 ) \mathrm{PG}(2,2) PG ( 2 , 2 ) Плоскость Фано — проективная плоскость над F 2 \mathbb{F}_2 F 2 [ x , y , z ] [x, y, z] [ x , y , z ] Ассоциатор: [ x , y , z ] = ( x y ) z − x ( y z ) [x, y, z] = (xy)z - x(yz) [ x , y , z ] = ( x y ) z − x ( yz ) H ( 7 , 4 ) H(7,4) H ( 7 , 4 ) Код Хэмминга: 4 информационных + 3 контрольных бита; связь с PG(2,2) P1 Теорема [Т]: пространство внутренних степеней свободы ≅ I m ( A ) \cong \mathrm{Im}(\mathbb{A}) ≅ Im ( A ) A \mathbb{A} A P2 Теорема [Т]: неассоциативность ([ x , y , z ] ≠ 0 [x, y, z] \neq 0 [ x , y , z ] = 0 x , y , z x, y, z x , y , z
Статус октонионной нотации [И]
Соответствие e i ↔ e_i \leftrightarrow e i ↔ интерпретация [И]. Математические операции на O \mathbb{O} O { A , S , D , L , E , O , U } \{A,S,D,L,E,O,U\} { A , S , D , L , E , O , U } открытая проблема .
Gap-динамика и Фано-структура
Символы, связанные с Gap-оператором , термодинамикой Gap и правилами отбора Фано .
Обозначение Значение G ^ \hat{G} G ^ Gap-оператор : G ^ = I m ( Γ ) ∈ s o ( 7 ) \hat{G} = \mathrm{Im}(\Gamma) \in \mathfrak{so}(7) G ^ = Im ( Γ ) ∈ so ( 7 ) P F a n o P_{\mathrm{Fano}} P Fano Фано-предиктивный канал : P F a n o ( Γ ) = 1 3 ∑ p Π p Γ Π p P_{\mathrm{Fano}}(\Gamma) = \tfrac{1}{3}\sum_p \Pi_p \Gamma \Pi_p P Fano ( Γ ) = 3 1 ∑ p Π p Γ Π p Π p \Pi_p Π p Проектор на 3-мерное подпространство Фано-линии p p p p = 1 , … , 7 p = 1, \ldots, 7 p = 1 , … , 7 α ∗ \alpha^* α ∗ Оптимальный параметр самомоделирования: α ∗ = argmin F [ P α ; Γ ] \alpha^* = \operatorname{argmin} F[P_\alpha;\, \Gamma] α ∗ = argmin F [ P α ; Γ ] T e f f T_{\mathrm{eff}} T eff Эффективная температура Gap : T e f f = ( Γ 2 / κ 0 ) ⋅ k B ⋅ T p h y s T_{\mathrm{eff}} = (\Gamma_2 / \kappa_0) \cdot k_B \cdot T_{\mathrm{phys}} T eff = ( Γ 2 / κ 0 ) ⋅ k B ⋅ T phys ξ F \xi_F ξ F Корреляционная длина Фано: ξ F ∼ 160 пк \xi_F \sim 160\;\text{пк} ξ F ∼ 160 пк Θ M \Theta_M Θ M Тета-функция намотки с Фано-характером Z Φ ( s ) Z_\Phi(s) Z Φ ( s ) Эпштейновская дзета-функция с Фано-характером B ( b ) B^{(b)} B ( b ) Билинейная форма на ( S 1 ) 21 (S^1)^{21} ( S 1 ) 21 N F N_F N F Число некоррелированных Фано-мод: N F ∼ 6,8 × 10 23 N_F \sim 6{,}8 \times 10^{23} N F ∼ 6 , 8 × 1 0 23 r = κ / Γ 2 r = \kappa / \Gamma_2 r = κ / Γ 2 Безразмерный параметр жизнеспособности — отношение скорости регенерации к скорости декогеренции t = T e f f / T c t = T_{\mathrm{eff}} / T_c t = T eff / T c Безразмерная температура — приведённая к критическому значению T c T_c T c
Связанные документы:
Глоссарий — определения терминовМатематический аппарат — формальные определенияВычислительная реализация — Python-кодМатрица когерентности — определение Γ \Gamma Γ Эволюция — уравнение d Γ ( τ ) / d τ d\Gamma(\tau)/d\tau d Γ ( τ ) / d τ Эмерджентное время — вывод τ из структуры ΓЖизнеспособность — мера P P P P crit P_{\text{crit}} P crit Самонаблюдение — меры R R R Φ \Phi Φ D diff D_{\text{diff}} D diff C C C Иерархия интериорности — уровни L0→L1→L2→L3→L4Категорный формализм — функтор F F F E x p ∞ \mathbf{Exp}_\infty Exp ∞ Формализация оператора φ — CPTP-каналыСтруктурный вывод через октонионы — P1+P2 → 𝕆 → N=7Динамика Gap — Gap-оператор G ^ \hat{G} G ^ Термодинамика Gap — T e f f T_{\mathrm{eff}} T eff Правила отбора Фано — P F a n o P_{\mathrm{Fano}} P Fano Π p \Pi_p Π p