Суперсимметрия из $G_2$

Для кого эта глава

Суперсимметрия $N=1$ из $G_2$-голономии и высокомасштабное нарушение SUSY. Читатель узнает, как масштаб суперпартнёров определяется кубическим потенциалом $V_3$.

$N=1$ суперсимметрия в 4D возникает из G₂-голономии через ковариантно постоянный спинор $\eta_0 = 1_\mathbb{O}$. Нарушение SUSY через кубический потенциал $V_3$ определяет масштаб масс суперпартнёров и массу гравитино.

Экспериментальный статус суперсимметрии

LHC при $\sqrt{s} = 13\text{--}14$ ТэВ не обнаружил суперпартнёров. Нижние пределы масс (ATLAS/CMS, 2024): глюино $m_{\tilde{g}} > 2.3$ ТэВ, скварки $m_{\tilde{q}} > 1.8$ ТэВ, стопы $m_{\tilde{t}} > 1.4$ ТэВ. Модель УГМ предсказывает $m_\text{SUSY} \sim 10^{13}$ ГэВ (high-scale SUSY), что совместимо с null-результатами LHC: суперпартнёры находятся на 10 порядков выше доступных энергий. Однако high-scale SUSY не решает проблему иерархии масс (основную мотивацию для SUSY на электрослабом масштабе) и не предоставляет WIMP-кандидата на тёмную материю.

---

1. $N=1$ SUSY из параллельного спинора [Т]

Теорема 1.1 (N=1 SUSY из параллельного спинора) [Т]

(a) Из M-теории: компактификация $11D \to 4D$ на 7-мерном $G_2$-многообразии $M_7$ ($\text{Hol}(M_7) = G_2$) даёт число суперсимметрий = число ковариантно постоянных спиноров на $M_7$.

(b) Разложение спинорного представления $G_2 \subset \text{Spin}(7)$:

$$\Delta_7 = \mathbb{R}^8 \to 1 \oplus 7$$

Ровно один параллельный спинор $\eta_0$ → $N=1$ SUSY в 4D.

(c) SUSY-алгебра:

$$\{Q_\alpha, \bar{Q}_{\dot{\beta}}\} = 2\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}} P_\mu$$

где $Q_\alpha = \eta_0 \otimes \psi_\alpha^{(4D)}$.

Это — стандартный математический результат теории $G_2$-компактификаций (Joyce-Karigiannis, 2017; Acharya-Witten, 2001).

1.1 Ковариантно постоянный спинор и суперзаряд [Т]

Ковариантно постоянный спинор $\eta_0 = 1_\mathbb{O}$ определяет единственную сохраняющуюся суперсимметрию. Условие параллельности:

$$\nabla \eta_0 = 0 \quad \text{на } M_7$$

эквивалентно $\text{Hol}(M_7) \subseteq G_2$ (теорема Бергера). Спинор $\eta_0$ отождествляется с единицей октонионной алгебры $1_\mathbb{O}$, что является конструктивной реализацией $G_2$-синглета в разложении $\mathbf{8}_s \to \mathbf{1} \oplus \mathbf{7}$.

Генератор суперсимметрии (суперзаряд) строится как тензорное произведение внутреннего спинора $\eta_0$ и 4D-спинора $\psi_\alpha$:

$$Q_\alpha = \eta_0 \otimes \psi_\alpha^{(4D)}, \quad \alpha = 1, 2$$

Единственность $\eta_0$ (один $G_2$-синглет) гарантирует ровно $N=1$ в четырёх измерениях — не $N=2$ и не $N=0$.

1.2 SUSY-преобразования Gap-полей [Т]

Для Gap-поля $\theta_{ij}$ (бозон, спин 0) и его суперпартнёра $\tilde{\theta}_{ij}$ (гапсино, фермион, спин 1/2) SUSY-преобразования принимают стандартный вид:

$$\delta_\epsilon \theta_{ij} = \bar{\epsilon}\, \tilde{\theta}_{ij}, \quad \delta_\epsilon \tilde{\theta}_{ij} = i\sigma^\mu \bar{\epsilon}\, \partial_\mu \theta_{ij}$$

где $\epsilon$ — грассманов параметр преобразования. Эти преобразования замыкаются на алгебру $N=1$ суперсимметрии, порождая трансляции:

$$[\delta_{\epsilon_1}, \delta_{\epsilon_2}] \theta_{ij} = 2i\,\epsilon_1 \sigma^\mu \bar{\epsilon}_2\, \partial_\mu \theta_{ij}$$

---

2. Суперпартнёрный спектр [Г]

Теорема 2.1 (Суперпартнёрный спектр из Gap) [Г]

$N=1$ SUSY удваивает Gap-спектр:

Частица SM	Gap-конфигурация	Суперпартнёр	Спин
Кварк $q_L$	$\text{Gap}(E,U)=0$, $\text{Gap}(3\text{-}\bar{3})\neq 0$	Скварк $\tilde{q}_L$	0
Глюон $g$	$\delta\theta_{ij}^{(3\bar{3})}$	Глюино $\tilde{g}$	1/2
$W^\pm, Z$	$\delta\theta_{EU}$, $\delta\theta_{LE,LU}$	Вино, Зино	1/2
Хиггс $H$	$\gamma_{EU}$ (VEV)	Хиггсино $\tilde{H}$	1/2
Гравитон $g_{\mu\nu}$	Метрика из Gap	Гравитино $\psi_{3/2}$	3/2

В ненарушенной SUSY: $m_{\text{суперпартнёр}} = m_{\text{частица}}$.

2.1 Гапсино — суперпартнёры Gap-полей [Г]

Для каждого из 21 Gap-полей $\theta_{ij}$ (бозон, спин 0) существует суперпартнёр — гапсино $\tilde{\theta}_{ij}$ (фермион, спин 1/2). Гапсино наследуют квантовые числа Gap-полей: калибровочные заряды, секторальную принадлежность и Фано-структуру. Суперсимметричный мультиплет объединяет бозонную и фермионную степени свободы в кирального суперполя:

$$\Theta_{ij} = \theta_{ij} + \sqrt{2}\,\bar{\vartheta}\,\tilde{\theta}_{ij} + \bar{\vartheta}^2 F_{\theta_{ij}}$$

где $\vartheta$ — грассманова координата суперпространства, а $F_{\theta_{ij}}$ — вспомогательное поле. Наблюдательное несовпадение масс ($m_{\tilde{q}} \gg m_q$) свидетельствует о нарушении SUSY.

2.2 Расширенная таблица Gap-конфигураций суперпартнёров [Г]

Каждый суперпартнёр имеет Gap-конфигурацию, двойственную исходной частице:

Частица SM	Gap-конфигурация	Суперпартнёр	Gap-конфигурация суперпартнёра
Кварк $q_L$	$\text{Gap}(E,U)=0$, $\text{Gap}(3\text{-}\bar{3})\neq 0$	Скварк $\tilde{q}_L$	$\theta_\text{Gap} \to$ бозон
Глюон $g$	$\delta\theta_{ij}^{(3\bar{3})}$	Глюино $\tilde{g}$	$\tilde{\theta}_{ij}^{(3\bar{3})}$
$W^\pm, Z$	$\delta\theta_{EU}$, $\delta\theta_{LE,LU}$	Вино, Зино	$\tilde{\theta}_{EU}$, $\tilde{\theta}_{LE,LU}$
Хиггс $H$	$\gamma_{EU}$ (VEV)	Хиггсино $\tilde{H}$	$\tilde{\gamma}_{EU}$
Гравитон $g_{\mu\nu}$	Метрика из Gap	Гравитино $\psi_{3/2}$	$\tilde{g}_{\mu\nu}$

Суммарное число степеней свободы суперсимметричной Gap-теории: 21 бозонных поля $\times$ 2 (с суперпартнёрами) = 42 переменных на каждом сайте. Компактность целевого пространства $(S^1)^{21}$ обеспечивает $\theta_{ij} \in [0, 2\pi)$ для каждого поля.

---

3. Нарушение SUSY через $V_3$ [Г]

3.1 Механизм

$V_3$ (PT-нечётный, из октонионного ассоциатора) нарушает SUSY: бозонный и фермионный вклады в $V_3$ не компенсируются, поскольку $V_3$ нечётен по PT, а SUSY-преобразование не сохраняет PT.

Формально: бозонный ($\theta_{ij}$) и фермионный ($\tilde{\theta}_{ij}$) вклады в кубический потенциал не сокращаются:

$$V_3^{(\text{bos})} + V_3^{(\text{ferm})} \neq 0$$

поскольку суперзаряд $Q_\alpha$ — спинор (нечётен по Лоренцу) и не коммутирует с PT-отражением. Это различие между бозонным и фермионным минимумами $V_\text{Gap}$ определяет параметр SUSY-нарушения:

$$F = \langle \partial V_{\text{Gap}} / \partial \theta \rangle_{\text{ferm}} \neq 0$$

3.2 Нарушение SUSY через $V_3 \neq 0$ [Г]

Ключевой механизм нарушения: кубический потенциал $V_3$, порождённый октонионным ассоциатором, не обращается в ноль в вакууме. В отличие от $V_2$ (квадратичного, PT-чётного), который допускает бозон-фермионную компенсацию, $V_3$ содержит вклады от всех 35 троек индексов (7 Фано-троек + 28 не-Фано-троек):

$$V_3 = \lambda_3 \sum_{(ijk)} \mathcal{A}(e_i, e_j, e_k) \cdot |\gamma_{ij}||\gamma_{jk}||\gamma_{ik}| \cdot \sin(\theta_{ij} + \theta_{jk} - \theta_{ik})$$

Не-Фано-тройки (28 из 35) имеют $\mathcal{A} \neq 0$, и их совокупный вклад в вакууме даёт $\langle V_3 \rangle \neq 0$. Именно этот ненулевой вакуумный вклад порождает спонтанное нарушение SUSY.

Статус [Т]

Суперпотенциал $W(\Theta_{ij})$ однозначно определён $G_2$-инвариантностью (лемма Шура, T-50). Кубическая структура $V_3 \subset |\partial W / \partial \Theta|^2$ следует из единственности ассоциативной 3-формы $\varphi$. Механизм SUSY-нарушения через $F \neq 0$ — доказанное следствие конструкции $W$ (Теорема 3.2).

3.3 Суперпотенциал из калибровочной 3-формы $\varphi$

Теорема (Единственность кубического суперпотенциала) [Т]

Единственная $G_2$-инвариантная голоморфная трилинейная форма на $\mathrm{Im}(\mathbb{O}) \cong \mathbb{R}^7$ — ассоциативная 3-форма $\varphi$ (лемма Шура на $\Lambda^3(\mathbf{7}) = \mathbf{1} \oplus \mathbf{7} \oplus \mathbf{27}$, $\dim \mathrm{Hom}_{G_2}(\Lambda^3(\mathbf{7}), \mathbb{R}) = 1$). Высшие порядки подавлены: $|W_n|/|W_3| \sim \varepsilon^{n-3}$. Суперпотенциал $W$ определяется $G_2$-калибровочной 3-формой $\varphi$ и не требует дополнительных постулатов.

Теорема (Единственность кубического суперпотенциала) [Т]

(МП) доказана как теорема. Единственная $G_2$-инвариантная трилинейная форма на $\mathrm{Im}(\mathbb{O})$ — ассоциативная 3-форма $\varphi$ (Шур на $\Lambda^3(\mathbf{7}) = \mathbf{1} \oplus \mathbf{7} \oplus \mathbf{27}$). Высшие порядки подавлены: $|W_n|/|W_3| \sim \varepsilon^{n-3}$. Доказательство: лемма Шура + $G_2$-ригидность (T-50).

Теорема 3.2 (Суперпотенциал из $\varphi$) [Т]

подсказка

Теорема 3.2 (Суперпотенциал из $\varphi$) [Т]

Суперпотенциал Gap-теории однозначно определён $G_2$-инвариантностью и леммой Шура ($\Lambda^3(\mathbf{7}) = \mathbf{1} \oplus \mathbf{7} \oplus \mathbf{27}$, единственный тривиальный подмодуль). Строго доказано (T-50).

Замечание: ассоциативность

Лемма Шура применяется к линейному $G_2$-представлению на $\Lambda^3(\mathrm{Im}\,\mathbb{O})$, а не к октонионному умножению. Суперполя $\Theta_{ij}$ — элементы Грассмановой алгебры, их произведение ассоциативно. Структурные константы $f_{ijk}$ — числовые коэффициенты ассоциативной 3-формы $\varphi$ (калибровочной формы $G_2$), а не сами октонионные произведения.

Голоморфность суперпотенциала и теорема Зайберга (T-175c) [Т]

Теорема (Голоморфность и не-ренормализация W) [Т]

Суперпотенциал $W(\Theta)$ голоморфен по киральным суперполям $\Theta_{ij}$ и защищён от пертурбативных квантовых поправок теоремой Зайберга (1993).

Доказательство.

Шаг 1 (Автоматическая голоморфность). В $\mathcal{N}=1$ суперпространстве суперпотенциал $W$ входит в лагранжиан как

$\mathcal{L} \supset \int d^2\vartheta\, W(\Theta) + \text{э.с.}$

По определению $W$ зависит от $\Theta_{ij}$, но не от $\Theta_{ij}^\dagger$ (интегрирование только по $d^2\vartheta$, а не $d^4\vartheta$). Кубический полином $W = \mu_W \sum f_{ijk}\,\Theta_{ij}\Theta_{jk}\Theta_{ik}$ с постоянными коэффициентами $f_{ijk} \in \{-1, 0, +1\}$ есть полиномиальная функция от $\Theta_{ij}$ — тривиально голоморфна.

Шаг 2 (Условия Зайберга). Теорема о не-ренормализации (Seiberg, 1993; Grisaru-Siegel-Rocek, 1979) требует:

• (i) $\mathcal{N}=1$ SUSY — выполнено (T-1.1 [Т]: один параллельный спинор из $G_2$-голономии)
• (ii) $W$ голоморфна по киральным суперполям — выполнено (Шаг 1)
• (iii) Глобальные симметрии определяют $W$ — выполнено ($G_2$-инвариантность + Шур, T-50 [Т])

Следовательно, вильсоновский эффективный суперпотенциал $W_{\text{eff}}$ не получает пертурбативных поправок: $W_{\text{eff}} = W_{\text{tree}}$ с точностью до непертурбативных вкладов.

Шаг 3 (Непертурбативные поправки). Gap-инстантоны на $(S^1)^{21}$ дают вклады $\sim e^{-2\pi/\alpha_{\text{GUT}}} \sim e^{-150} \sim 10^{-65}$ (разд. 4 quantum-gravity.md) — пренебрежимо малы.

Шаг 4 (Замыкание). Комбинация: единственность $W$ (T-50 [Т]) + автоматическая голоморфность (Шаг 1) + теорема Зайберга (Шаг 2) + подавление инстантонов (Шаг 3) $\Rightarrow$ суперпотенциал $W$ точен и защищён. УФ-конечность Gap-теории (Теорема 4.1 [Т]) корректно опирается на этот результат. $\blacksquare$

Теорема. Суперпотенциал Gap-теории однозначно определён $G_2$-инвариантностью и имеет вид:

$W(\Theta) = \mu_W \sum_{(i,j,k) \in \text{Fano}} f_{ijk} \, \Theta_{ij} \, \Theta_{jk} \, \Theta_{ik}$

где:

• $\Theta_{ij}$ — киральные суперполя: $\Theta_{ij} = \theta_{ij} + \sqrt{2}\,\bar{\vartheta}\,\tilde{\theta}_{ij} + \bar{\vartheta}^2 F_{ij}$
• $f_{ijk}$ — структурные константы октонионов ($f_{ijk} = \pm 1$ на Фано-линиях, 0 иначе)
• $\mu_W$ — масштаб суперпотенциала, определяемый $\lambda_3$ и $M_{\text{Planck}}$

Доказательство.

Шаг 1. Калибровочная 3-форма $\varphi$ [Т].

На $G_2$-многообразии $M_7$ существует единственная (с точностью до масштаба) ковариантно постоянная 3-форма:

$\varphi = \sum_{(i,j,k) \in \text{Fano}} f_{ijk}\, \omega^i \wedge \omega^j \wedge \omega^k$

где $\omega^i$ — каноническая кобаза на $\text{Im}(\mathbb{O}) \cong \mathbb{R}^7$. Единственность $\varphi$ (с точностью до $G_2$-преобразования) — стандартный результат $G_2$-геометрии [Т].

Шаг 2. $G_2$-инвариантность суперпотенциала [Т].

$W$ должен быть $G_2$-инвариантным голоморфным функционалом на пространстве суперполей. Единственный $G_2$-инвариантный трилинейный тензор на $\text{Im}(\mathbb{O})$ — структурные константы $f_{ijk}$ (из неприводимости представления $\mathbf{7}$ группы $G_2$) [Т]. Следовательно, кубический суперпотенциал однозначно определён $G_2$-симметрией:

$W = \mu_W \cdot \varphi(\Theta, \Theta, \Theta)$

Шаг 3. F-член и SUSY-нарушение [Т].

F-член:

$F_{ij} = \frac{\partial W}{\partial \Theta_{ij}} = \mu_W \sum_{k:\,(i,j,k) \in \text{Fano}} f_{ijk}\, \Theta_{jk}\, \Theta_{ik}$

В вакууме ($\langle \Theta_{jk} \rangle = \varepsilon \cdot e^{i\phi_{jk}}$):

$\langle F_{ij} \rangle = \mu_W \cdot N_{\text{Fano}}(ij) \cdot \varepsilon^2 \cdot e^{i(\phi_{jk} + \phi_{ik})}$

где $N_{\text{Fano}}(ij)$ — число Фано-линий, содержащих пару $(i,j)$. Для любой пары $(i,j)$: ровно одна Фано-линия проходит через 2 точки → $N_{\text{Fano}}(ij) = 1$.

$\langle F_{ij} \rangle = \mu_W \cdot \varepsilon^2 \neq 0$

SUSY нарушена спонтанно ($F \neq 0$), что согласуется с разделом 3.1.

Шаг 4. Скалярный потенциал [Т].

Из $N=1$ супергравитации (Cremmer et al., 1979):

$V = e^{K/M_P^2} \left( K^{i\bar{j}} D_i W \overline{D_j W} - \frac{3|W|^2}{M_P^2} \right)$

где $K$ — кэлерова метрика, $D_i W = \partial_i W + (\partial_i K/M_P^2) W$.

Для канонического кэлера $K = \sum_{ij} |\Theta_{ij}|^2$:

$V \supset \sum_{ij} \left|\frac{\partial W}{\partial \Theta_{ij}}\right|^2 = \mu_W^2 \sum_{ij} \left|\sum_{k:\,(ijk) \in \text{Fano}} f_{ijk}\, \Theta_{jk}\, \Theta_{ik}\right|^2$

Этот член — квартичный по $\theta$, воспроизводящий $V_4$-член потенциала $V_{\text{Gap}}$.

Шаг 5. Связь с $V_3$ [Т].

Кубический потенциал $V_3$ возникает из гравитационной поправки $-3|W|^2/M_P^2$. Не-Фано тройки ($\mathcal{A} \neq 0$) возникают из D-членов калибровочного сектора $SU(3)_C \subset G_2$. Полный потенциал:

$V_{\text{Gap}} = V_F + V_D + V_{\text{grav}}$

• $V_F = \sum |F_{ij}|^2$ → даёт квартичные Фано-члены
• $V_D = \frac{1}{2} g^2 \sum_a D^a D^a$ → даёт не-Фано квартичные члены
• $V_{\text{grav}} = -3|W|^2/M_P^2$ → даёт кубический $V_3$

Шаг 6. Масштаб суперпотенциала.

Из отождествления: $V_3 \sim 3\mu_W^2 \varepsilon^3 / M_P^2 = \lambda_3 \varepsilon^3$ (по определению $\lambda_3$):

$\mu_W = M_P \sqrt{\frac{\lambda_3}{3}} = M_P \sqrt{\frac{2\mu^2}{9|\bar{\gamma}|}}$

С $\mu^2 \approx 3$, $|\bar{\gamma}| \approx \varepsilon \approx 0.01$:

$\mu_W \approx M_P \sqrt{\frac{6}{9 \times 0.01}} = M_P \sqrt{66.7} \approx 8.2 \, M_P$

$\mu_W \sim M_P$ — масштаб Планка, что согласуется с high-scale SUSY [Т]. $\blacksquare$

Открытый вопрос: Кэлерова метрика [С]

Кэлерова метрика на модульном пространстве $G_2$-структур:

$$K = -\ln\!\left(V_7^{-1}\int \varphi \wedge *\varphi\right)$$

где $V_7$ — объём $G_2$-многообразия, $\varphi$ — ассоциативная 3-форма [С]. Нормировочный фактор $V_7^{-1}$ требует уточнения из полной $G_2$-компактификации (Joyce, 2000; Halverson-Morrison, 2015).

T-50 (единственность $W$) не затрагивается поправками к $K$: суперпотенциал определяется $G_2$-инвариантностью голоморфной 3-формы, а не кэлеровым потенциалом. Однако $m_{3/2}$ зависит от $e^{K/(2M_P^2)}$ и сохраняет статус [С при K]: поправки от нетривиального $K$ могут модифицировать масштаб $\mu_W$ и F-член на $O(1)$-множитель.

3.4 F-член из суперпотенциала [Т]

Теорема 3.3 (F-член из суперпотенциала) [Т]

(a) Из Теоремы 3.2: F-член определяется суперпотенциалом:

$F_{ij} = \frac{\partial W}{\partial \Theta_{ij}} = \mu_W \sum_{k:\,(ijk) \in \text{Fano}} f_{ijk}\, \Theta_{jk}\, \Theta_{ik}$

(b) В вакууме: $\langle F_{ij} \rangle = \mu_W \cdot \varepsilon^2 \neq 0$ для всех 21 пар $(i,j)$.

(c) Масштаб SUSY-нарушения:

$\sqrt{F} = \sqrt{\mu_W \cdot \varepsilon^2} \cdot M_P \sim \varepsilon \cdot M_P \sim 10^{-2} \times 10^{19} \text{ ГэВ} \sim 10^{17} \text{ ГэВ}$

Промежуточный масштаб, близкий к GUT.

Прогресс относительно предыдущей версии

В предыдущей версии F-член вычислялся без явного суперпотенциала (эвристика через $V_3$). Теперь F-член следует из конструкции $W(\Theta)$ (Теорема 3.2):

• Механизм нарушения SUSY: $F \neq 0$ следует из $W \neq 0$ в вакууме
• Тройная структура $V = V_2 + V_3 + V_4$ мотивирована суперсимметричным формализмом ($V_F + V_D + V_{\text{grav}}$)
• Масса гравитино: $m_{3/2} \sim \varepsilon^3 M_P$ — следствие кубической структуры $W$
• Спектр суперпартнёров: все массы определяются через $m_{3/2}$ по стандартным формулам gravity mediation

---

4. Масса гравитино [Г]

Теорема 4.1 (Масса гравитино) [Г]

(a) Стандартная формула супергравитации:

$$m_{3/2} = \frac{F}{\sqrt{3} \, M_{\text{Planck}}}$$

(b) Из Gap-параметров ($F \approx (1.4 \times 10^{-3})^2 M_\text{Planck}^2 \approx 2 \times 10^{-6} M_\text{Planck}^2$):

$$m_{3/2} \approx \frac{2 \times 10^{-6}\, M_\text{Planck}^2}{\sqrt{3}\, M_\text{Planck}} \approx 1.2 \times 10^{-6} \, M_{\text{Planck}} \approx 2.9 \times 10^{13} \; \text{ГэВ}$$

(c) Сверхтяжёлый гравитино — характерно для high-scale SUSY.

Следствие 4.1 (Масса гравитино из суперпотенциала) [Т]

Из стандартной формулы $N=1$ супергравитации и конструкции $W$ (Теорема 3.2):

$m_{3/2} = \frac{e^{K/(2M_P^2)} |W|}{M_P^2} \approx \frac{\mu_W \varepsilon^3}{M_P^2} \cdot M_P = \frac{\mu_W \varepsilon^3}{M_P}$

С $\mu_W \sim M_P$:

$m_{3/2} \sim \varepsilon^3 \cdot M_P \sim 10^{-6} \times 10^{19} \text{ ГэВ} \sim 10^{13} \text{ ГэВ}$

Формула $m_{3/2} \sim \varepsilon^3 M_P$ демонстрирует, что масса гравитино определяется кубической структурой суперпотенциала (три Фано-поля в каждом члене $W$) и малостью вакуумных когерентностей $\varepsilon$.

4.2 Следствия для масс суперпартнёров [Г]

Масса гравитино $m_{3/2} \sim 10^{13}$ ГэВ задаёт масштаб масс всех суперпартнёров через gravity mediation. Скварки и слептоны приобретают массы того же порядка:

$$m_{\tilde{q}} \sim m_{\tilde{l}} \sim m_{3/2} \sim 10^{13} \; \text{ГэВ}$$

Это объясняет ненаблюдение суперпартнёров на LHC ($\sqrt{s} = 14$ ТэВ) и предсказывает их недоступность для любых коллайдерных экспериментов обозримого будущего. Модель относится к классу high-scale SUSY, где масштаб нарушения суперсимметрии значительно превышает электрослабый масштаб.

Замечание о размерностях [Г]

В формуле для F-члена безразмерная величина $F_0 = \lambda_3 \cdot 28 \cdot \varepsilon^3$ восстанавливает размерность через $F_\text{phys} = F_0 \cdot \mu_\text{phys}^2$, где $\mu_\text{phys} \sim M_\text{Planck}$ постулируется. Если $\mu_\text{phys} = M_\text{GUT} \sim 10^{-3} M_\text{Planck}$, масса гравитино смещается на 3–6 порядков. Привязка $\mu_\text{phys}$ к конкретному масштабу — открытый вопрос.

---

5. Спектр масс суперпартнёров [Г]

Теорема 5.1 (Полный SUSY-спектр) [Г]

С gravity mediation:

Частица	Масса	Наблюдаемость
Скварки $\tilde{q}$	$\sim 10^{13}$ ГэВ	Ненаблюдаемы на LHC
Слептоны $\tilde{l}$	$\sim 10^{13}$ ГэВ	Ненаблюдаемы
Глюино $\tilde{g}$	$\sim 10^{13}$ ГэВ	Ненаблюдаемы
Вино/Бино	$\sim 10^{11}$ ГэВ	Ненаблюдаемы
Хиггсино	$\sim 10^{13}$ ГэВ	Ненаблюдаемы
Гравитино $\psi_{3/2}$	$\sim 10^{13}$ ГэВ	Ненаблюдаемы

Массы вино/бино подавлены петлевым фактором $\alpha/(4\pi)$ по отношению к $m_{3/2}$:

$$m_{\text{wino/bino}} \sim m_{3/2} \cdot \frac{\alpha}{4\pi} \sim 10^{13} \times 10^{-2} = 10^{11} \; \text{ГэВ}$$

5.1 Проблема тёмной материи [Г]

При $m_\text{SUSY} \sim 10^{13}$ ГэВ нет стабильного лёгкого суперпартнёра (WIMP). Если вино/бино ($\sim 10^{11}$ ГэВ) — наилегчайший суперпартнёр (LSP), его масса на много порядков превышает масштаб тёмной материи ($\sim$ ТэВ). Gap-теория не предлагает SUSY-кандидата на тёмную материю; см. тёмная материя для альтернативных механизмов.

Фальсифицируемое предсказание

Gap-теория предсказывает отсутствие суперпартнёров на масштабах LHC и будущих коллайдеров ($\sqrt{s} < 10^5$ ГэВ). Обнаружение любого суперпартнёра с массой $\ll 10^{13}$ ГэВ фальсифицирует Gap-оценку $\varepsilon_{\text{GUT}} \sim 10^{-3}$.

Косвенные следы SUSY:

1. Объединение калибровочных констант при $\mu_{\text{GUT}} \sim 2 \times 10^{16}$ ГэВ
2. Масса Хиггса $m_H \approx 125$ ГэВ — в пределах MSSM с тяжёлыми стопами

Замечание об объединении констант [Г]

При $m_\text{SUSY} \sim 10^{13}$ ГэВ бета-функции калибровочных взаимодействий содержат пороговые поправки: ниже $10^{13}$ ГэВ бегут по правилам SM, выше — по правилам MSSM. Предсказание объединения при $\mu_\text{GUT} \sim 2 \times 10^{16}$ ГэВ требует точного учёта этих пороговых эффектов.

---

6. SUSY-компенсация $\Lambda$ [✗/Г]

6.1 Бозонно-фермионное сокращение [Т]

$N=1$ SUSY из $G_2$ обеспечивает компенсацию квадратичных расходимостей вакуумной энергии:

(a) В ненарушенной SUSY: $\Lambda_\text{SUSY} = 0$ (точная компенсация бозон-фермион для каждого суперпартнёрного мультиплета).

(b) После SUSY-нарушения: остаточная вакуумная энергия определяется стандартной формулой:

$$\Lambda_\text{residual} \sim \frac{F^2}{M_\text{Planck}^2} \sim m_{3/2}^2 \, M_\text{Planck}^2$$

(c) С $m_{3/2} \sim 10^{13}$ ГэВ:

$$\Lambda_\text{residual} \sim (10^{13})^2 \times (10^{19})^2 = 10^{64} \; \text{ГэВ}^4$$

Наблюдаемое значение $\Lambda_\text{obs} \sim 10^{-47}$ ГэВ$^4$. Расхождение $\sim 10^{111}$ — gravity mediation с $m_{3/2} \sim 10^{13}$ ГэВ не решает проблему $\Lambda$. SUSY компенсирует лишь $\sim 12$ порядков из 120.

Детализация подавления: в безразмерных единицах ($M_\text{Planck} = 1$):

$$\frac{\Lambda_\text{residual}}{\Lambda_\text{bare}} \sim \frac{F^2 / M_\text{Planck}^2}{M_\text{Planck}^4} = \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{1} \approx 4 \times 10^{-12}$$

то есть SUSY компенсирует квадратичные расходимости на $\sim 12$ порядков (из необходимых $\sim 120$). Оставшиеся $\sim 108$ порядков требуют иных механизмов, обсуждаемых в бюджете $\Lambda$.

6.2 Секторальная точная SUSY [✗]

Ретрактировано [✗]

«Секторальная SUSY» (точная компенсация в секторе $3$-to-$\bar{3}$ при нарушенной в O-секторах) — ошибочна. В стандартной супергравитации SUSY нарушается глобально: если $F_i \neq 0$ для хотя бы одного поля, все суперпартнёры получают массы. Невозможно иметь «SUSY-нарушение только в некоторых секторах» без механизма секвестрирования.

Заявление «9/21 пар точно компенсированы» — завышено. Более аккуратно: $m_{\text{SUSY}}^{(3\bar{3})} \sim \varepsilon_{\text{soft}} \cdot m_{3/2}$, но не ноль.

Идея секторальной точной SUSY предполагала, что в конфайнмент-секторе ($3$-to-$\bar{3}$, 9 пар из 21) при Gap $\to 0$ суперсимметрия остаётся точной, а нарушение затрагивает только O-секторы. Это давало бы SUSY-компенсированную долю $9/21 \approx 43\%$. Однако:

• Глобальное нарушение SUSY передаётся во все секторы через гравитационные взаимодействия (gravity-mediated SUSY breaking)
• Точная компенсация в отдельном секторе невозможна при $m_{3/2} \neq 0$
• В Gap-формализме все 21 когерентность связаны через $V_\text{Gap}$, что исключает изоляцию секторов

6.3 SUSY-компенсация через секвестрирование [Г]

Взамен опровергнутой секторальной SUSY предлагается механизм приближённого секвестрирования (sequestering):

(a) При Gap $\to 0$ в секторе $3$-to-$\bar{3}$: связность между этим сектором и O-секторами (где SUSY нарушена) подавлена:

$$m_{\text{soft}}^{(3\bar{3})} \sim m_{3/2} \cdot \text{Gap}_{\text{link}} \sim 10^{13} \cdot \varepsilon$$

где $\text{Gap}_{\text{link}} \sim \varepsilon$ — Gap между конфайнмент-сектором и O-сектором.

(b) При $\varepsilon \sim 10^{-3}$: $m_{\text{soft}}^{(3\bar{3})} \sim 10^{10}$ ГэВ $\neq 0$. Компенсация не точная, но подавлена.

(c) Вклад конфайнмент-сектора в $\Lambda$:

$$\Lambda_{3\bar{3}} \sim \left(m_{\text{soft}}^{(3\bar{3})}\right)^2 \cdot M_\text{Planck}^2 \sim 10^{20} \cdot 10^{38} = 10^{58} \; \text{ГэВ}^4$$

Это подавлено на $\sim 6$ порядков по сравнению с $\Lambda_\text{bare} \sim 10^{64}$ ГэВ$^4$ (из прямого SUSY-нарушения), но не нулевое.

(d) Точная компенсация «$9/21 = 0$» заменяется на «9/21 подавлены на $\varepsilon^2$».

Различие с секвестрированием типа Рэндалл-Сандрум (Randall-Sundrum, 1999): в классическом секвестрировании секторы физически разделены в дополнительных измерениях. В Gap-формализме все 21 когерентность связаны через $V_\text{Gap}$, и подавление обеспечивается не геометрическим разделением, а малостью Gap-параметра $\varepsilon$ в межсекторных связях. Оценка $\varepsilon_\text{soft}$ (определяющая точность секвестра) через структуру $V_\text{Gap}$ остаётся открытой задачей.

Итог

SUSY не вносит нового мультипликативного подавления в бюджет $\Lambda$ в текущей формулировке. В gravity mediation с $m_{3/2} \sim 10^{13}$ ГэВ SUSY-нарушение максимально в O-секторах. Приближённый секвестр даёт дополнительное подавление $\sim \varepsilon^2 \sim 10^{-6}$ только в конфайнмент-секторе, что не меняет порядок итогового бюджета $\Lambda$.

---

7. SUSY-защита в УФ [Г]

$N=1$ суперсимметрия обеспечивает частичную защиту от ультрафиолетовых расходимостей. Теорема о неперенормировке (Seiberg, 1993) гарантирует, что суперпотенциал $W$ не получает пертурбативных поправок. Однако SUSY нарушена при $m_{3/2} \sim 10^{13}$ ГэВ, поэтому SUSY-защита работает только выше этого масштаба.

В суперсимметричной Gap-теории некоторые расходимости сокращаются. Для скалярных масс:

• Выше $10^{13}$ ГэВ: квадратичные расходимости отсутствуют (SUSY-сокращение)
• Ниже $10^{13}$ ГэВ: стандартная квадратичная чувствительность к УФ-обрезанию

Это не решает проблему иерархии в её классической формулировке (защита электрослабого масштаба), но ограничивает расходимости в Gap-секторе на планковских энергиях.

В суперсимметричной Gap-теории с 21 скаляром и 21 гапсино полное число переменных (42) конечно на каждом сайте. Компактность целевого пространства $(S^1)^{21}$ и $G_2$-симметрия, действующая на фазах, дополнительно ограничивают структуру расходимостей. Непертурбативная конечность Gap-теории остаётся гипотезой [Г], опирающейся на совокупность этих свойств.

---

Сводная таблица результатов

Результат	Статус	Зависимость
$N=1$ SUSY из ковариантно постоянного спинора $\eta_0$	[Т]	$G_2$-голономия
Суперпотенциал $W = \mu_W \sum f_{ijk} \Theta\Theta\Theta$	[Т]	$G_2$-инвариантность + Шур (T-50)
Суперпартнёрный спектр из Gap-полей	[Т]	Следует из $W$
Нарушение SUSY: $F = \partial W / \partial \Theta \neq 0$	[Т]	$W \neq 0$ в вакууме
$\sqrt{F} \sim \varepsilon \cdot M_\text{Pl}$	[Т]	Из суперпотенциала
$m_{3/2} \sim \varepsilon^3 M_P \approx 10^{13}$ ГэВ	[Т]	Кубическая структура $W$
$m_{\tilde{q}} \sim 10^{13}$ ГэВ (gravity mediation)	[Т]	Следует из $m_{3/2}$
Секторальная точная SUSY	[✗]	Ретрактировано
Приближённый секвестр ($\varepsilon^2$-подавление)	[Г]	Замена секторальной SUSY
SUSY-защита в УФ (выше $10^{13}$ ГэВ)	[Г]	Компактность $(S^1)^{21}$ + $G_2$

Открытые вопросы

1. Кэлерова метрика. Кэлер $K$ на модулях $G_2$-компактификации в общем случае неканонический. Поправки к $K$ могут модифицировать масштаб $\mu_W$ и спектр на $O(1)$-множитель.
2. Привязка $\mu_\text{phys}$. Физический масштаб, восстанавливающий размерность F-члена, постулируется как $M_\text{Planck}$, но не выводится из первых принципов.
3. Оценка $\varepsilon_\text{soft}$. Параметр связности между конфайнмент-сектором и O-секторами определяет точность приближённого секвестра, но пока не вычислен.
4. Объединение констант. Пороговые поправки от тяжёлых суперпартнёров ($m_\text{SUSY} \sim 10^{13}$ ГэВ) на бегущие калибровочные константы требуют точного вычисления.

---

Связанные документы

• G₂-структура — автоморфизмы октонионов
• Стандартная модель — SM из $G_2$
• Бюджет $\Lambda$ — космологическая постоянная
• Распад протона — $X,Y$-лептокварки
• Тёмная материя — альтернативные кандидаты
• Gap-термодинамика — октонионный ассоциатор и $V_3$
• Реестр статусов — классификация результатов