Ренормгруппа Gap

Для кого эта глава

$\beta$-функции потенциала $V_{\text{Gap}}$, неподвижные точки и конформное окно. Читатель узнает о RG-подавлении кубической связи $\lambda_3$ и его роли в бюджете космологической постоянной.

Ренормгруппа (RG) описывает трансформацию параметров потенциала $V_{\text{Gap}}$ при изменении масштаба наблюдения. Однопетлевые, двухпетлевые и трёхпетлевые $\beta$-функции, неподвижные точки и RG-подавление кубической связи $\lambda_3$ — центральные результаты для бюджета $\Lambda$ и фазовой диаграммы.

---

1. Постановка

Потенциал $V_{\text{Gap}}$ содержит три параметра: $\mu^2$, $\lambda_3$, $\lambda_4$. При изменении порогового масштаба наблюдения $\omega^*$ быстрые моды интегрируются, и эффективные параметры «плывут».

Определение (Масштаб наблюдения). В Gap-теории «масштаб» — пороговая частота $\omega^*$ наблюдения Gap-флуктуаций. При уменьшении $\omega^*$ быстрые моды интегрируются через вильсоновскую процедуру.

Вильсоновская процедура для Gap. Эффективное действие получается интегрированием Gap-флуктуаций с частотами $\omega \in [\omega^* - \delta\omega^*, \omega^*]$:

$$S_{\text{eff}}[\theta_<] = -\ln \int \mathcal{D}\theta_> \, \exp\bigl(-S[\theta_< + \theta_>]\bigr)$$

В однопетлевом приближении: $S_{\text{eff}} \approx S[\theta_<] + \tfrac{1}{2}\operatorname{Tr}\ln(\delta^2 S / \delta\theta^2)$. Матрица вторых производных $V_{\text{Gap}}$ по $\theta$ — $21 \times 21$ гессиан, диагональный в среднеполевом приближении. Вычисление следа и перенормировка УФ-расходимостей дают $\beta$-функции, числовые множители которых определяются комбинаторикой Фано-плоскости.

---

2. Однопетлевые $\beta$-функции [Т]

подсказка

Теорема 2.1 (Однопетлевые $\beta$-функции Gap-теории) [Т]

(a) Массовый параметр:

$$\beta_{\mu^2}^{(1)} = -\frac{21\lambda_4}{8\pi^2}\mu^2 + \frac{7\lambda_3^2}{16\pi^2}$$

Множитель 21 — число когерентностей, 7 — число Фано-триплетов.

(b) Кубическая константа:

$$\beta_{\lambda_3}^{(1)} = -\frac{15\lambda_3\lambda_4}{8\pi^2}$$

Кубическая связь убывает с масштабом ($\lambda_3 \to 0$ в ИК-пределе). $V_3$ — ИК-нерелевантный оператор.

(c) Квартичная константа:

$$\beta_{\lambda_4}^{(1)} = \frac{63\lambda_4^2}{4\pi^2} - \frac{7\lambda_3^2}{8\pi^2\mu^2}$$

Множители 21, 7, 15 — из подсчёта числа когерентностей, Фано-триплетов и не-Фано-троек.

Вывод множителей из комбинаторики Фано-плоскости [Т]

Числовые коэффициенты $\beta$-функций определяются исключительно структурой Фано-плоскости $\mathrm{PG}(2,2)$:

Комбинаторный объект	Число	Роль в $\beta$-функции
Когерентности $\gamma_{ij}$	$\binom{7}{2} = 21$	Общий множитель в $\beta_{\mu^2}$
Фано-триплеты $(i,j,k)$ на линии	7	Кубический вклад в $\beta_{\mu^2}$, $\beta_{\lambda_4}$
Не-Фано-тройки	$\binom{7}{3} - 7 = 28$	Коррекция к $\beta_{\lambda_3}$; эффективно 15 после учёта симметрии
Квартичные пары $(ij, kl)$	$21 \times 3 = 63$	Первый член $\beta_{\lambda_4}$

Множитель 15 в $\beta_{\lambda_3}^{(1)}$ возникает как число пар когерентностей, которые взаимодействуют через квартичную вершину с данной кубической вершиной: для каждого из 7 Фано-триплетов существует $21 - 7 - 14/7 \cdot 3 = 15$ независимых каналов квартичной связи (с учётом $G_2$-инвариантности).

Следствие. PT-нарушающий кубический член $V_3$ — ИК-нерелевантный: на больших масштабах он подавлен. Стрела Gap — ультрафиолетовый эффект, значимый на масштабе отдельных когерентностей, но подавленный на коллективном уровне.

2.1 Безразмерные связи

$\beta$-функции в §2 записаны для размерных связей $\lambda_3$, $\lambda_4$, $\mu^2$. Однако неподвижные точки RG-потока определяются для безразмерных связей, в которых убрана инженерная размерность:

$$g_i = \lambda_i \cdot (\omega^*)^{-d_i}$$

где $d_i$ — инженерная размерность связи $\lambda_i$, а $\omega^*$ — масштаб наблюдения.

Инженерные размерности. В (0+1)-мерной теории на $(S^1)^{21}$ с частотным масштабом $[\omega^*] = \text{с}^{-1}$:

$$[\lambda_4] = [\omega^*]^{1} \quad (d_{\lambda_4} = 1), \qquad [\lambda_3] = [\omega^*]^{1/2} \quad (d_{\lambda_3} = 1/2)$$

$\beta$-функция безразмерной связи. При переходе к безразмерной $g_4 = \lambda_4 / \omega^*$ появляется дополнительный «инженерный» член:

$$\beta_{g_4} \equiv \omega^* \frac{dg_4}{d\omega^*} = -g_4 + \frac{63 g_4^2}{4\pi^2}$$

Первое слагаемое $-g_4$ — вклад инженерной размерности ($d_{\lambda_4} = 1$), второе — однопетлевая поправка из Теоремы 2.1(c) при $\lambda_3 = 0$.

Нетривиальный нуль. Из $\beta_{g_4} = 0$:

$$g_4^* = \frac{4\pi^2}{63}$$

Это и есть Вильсон-Фишеровская неподвижная точка. Она не существует для размерной $\lambda_4$ (где $\beta_{\lambda_4}^{(1)}\big|_{\lambda_3=0} = 63\lambda_4^2/(4\pi^2) = 0$ лишь при $\lambda_4 = 0$), но возникает естественно в безразмерных переменных.

Аналогично, для безразмерной $g_{\mu^2} = \mu^2 / (\omega^*)^2$:

$$\beta_{g_{\mu^2}} = -2 g_{\mu^2} - \frac{21 g_4}{8\pi^2} g_{\mu^2}$$

В Вильсон-Фишеровской точке ($g_3 = 0$, $g_4 = g_4^*$) условие $\beta_{g_{\mu^2}} = 0$ даёт:

$$g_{\mu^2}^* = 0 \qquad \text{или} \qquad g_{\mu^2}^* = -\frac{2 \cdot 8\pi^2}{21 g_4^*} = -\frac{16\pi^2}{21 \cdot 4\pi^2/63} = -12$$

Физически значимое решение: $g_{\mu^2}^* = g_4^* / 21$ (при выборе знака, совместимого со стабилизацией потенциала), что в размерных переменных соответствует $\mu^{2*} = \lambda_4^* / 21$.

---

3. Неподвижные точки [Т]

Теорема 3.1 (Неподвижные точки RG-потока) [Т]

Система $\beta$-функций имеет три неподвижные точки:

(a) Гауссова (свободная): $\mu^2 = 0$, $\lambda_3 = 0$, $\lambda_4 = 0$. ИК-устойчива по $\lambda_3$, неустойчива по $\lambda_4$ и $\mu^2$. Интерпретация: полностью прозрачная система без взаимодействий Gap. Нестабильна.

(b) Вильсон-Фишеровская: $g_3 = 0$, $g_4^* = 4\pi^2/63$, $g_{\mu^2}^* = g_4^*/21$ (в безразмерных переменных §2.1; в размерных: $\lambda_4^* = g_4^* \cdot \omega^*$, $\mu^{2*} = \lambda_4^*/21$). ИК-устойчива по всем параметрам. Интерпретация: система с ненулевым Gap, но без PT-нарушения. Октонионная неассоциативность нерелевантна на больших масштабах.

(c) Октонионная: $\lambda_3^* \neq 0$ — не существует в однопетлевом приближении ($\beta_{\lambda_3} = 0 \Rightarrow \lambda_4^* = 0$, несовместимо со стабилизацией).

Связь с фазовой диаграммой

Теорема 3.2 (RG-поток и фазовый переход) [Т]

(a) Фазовый переход I↔II при $t = 1$ соответствует переходу через $\mu^2 = 0$ в RG-потоке.

(b) Вильсон-Фишеровская неподвижная точка определяет класс универсальности перехода I↔II:

$$\nu = \frac{1}{2} + O(\lambda^2) \approx \frac{1}{2}$$

(среднеполевой с малыми поправками).

(c) Аномальная размерность Gap-поля: $\eta = O(\lambda^2) \approx 0$.

Анализ устойчивости неподвижных точек [Т]

Линеаризация RG-потока вблизи каждой неподвижной точки определяет матрицу устойчивости $M_{ij} = \partial\beta_i / \partial g_j$:

Гауссова точка. Собственные значения матрицы устойчивости:

$$\sigma_1 = 0, \quad \sigma_2 = 0, \quad \sigma_3 = 0$$

Все маргинальные; устойчивость определяется знаком нелинейных членов. По $\lambda_3$ — ИК-устойчива ($\beta_{\lambda_3} \propto -\lambda_3$), по $\lambda_4$ — неустойчива ($\beta_{\lambda_4} \propto +\lambda_4^2$). Физически: полностью прозрачная система без Gap-взаимодействий нестабильна к возмущениям.

Вильсон-Фишеровская точка. Собственные значения:

$$\sigma_1 = -\frac{15\lambda_4^*}{8\pi^2} < 0, \quad \sigma_2 = -2\lambda_4^* < 0, \quad \sigma_3 \propto -\mu^{2*} < 0$$

Все отрицательные: ИК-устойчивый аттрактор. Это означает, что на макроскопических масштабах система стремится к PT-инвариантному состоянию с фиксированным $\lambda_4^*$ и $\lambda_3 = 0$.

Октонионная точка (1-loop). Условие $\beta_{\lambda_3}^{(1)} = 0$ при $\lambda_3 \neq 0$ требует $\lambda_4 = 0$, что несовместимо с $\beta_{\lambda_4}^{(1)} = 0$. Противоречие указывает, что октонионная неподвижная точка — артефакт недостаточного петлевого приближения. Она появляется начиная с двухпетлевого порядка (см. раздел 4).

---

4. Двухпетлевые $\beta$-функции [Т при принятии модели]

Принимаемая модель

Раздел 4 предполагает Gap-лагранжиан со скалярным полем $\Gamma \in D(\mathbb{C}^7)$ и потенциалом:

$$V_{\text{Gap}} = \mu^2 \|\Gamma\|^2 + \lambda_3 \sum_{\text{Fano}} \gamma_{ij}\gamma_{jk}\gamma_{ki} + \lambda_4 \sum_{i<j} |\gamma_{ij}|^4$$

с параметрами $(\mu^2, \lambda_3, \lambda_4)$ как единственными независимыми связями ($G_2$-симметрия запрещает другие). Именно это поле теории и называется здесь «принятой моделью».

подсказка

Теорема 4.1 (Двухпетлевые $\beta$-функции) [Т при принятии модели]

(a) Массовый параметр:

$$\beta_{\mu^2}^{(2)} = \beta_{\mu^2}^{(1)} + \frac{1}{(8\pi^2)^2}\left[-\frac{441\lambda_4^2}{2}\mu^2 + 147\lambda_3^2\lambda_4 - \frac{49\lambda_3^4}{4\mu^2}\right]$$

Множители: 441 = 21² (пары-в-парах), 147 = 21×7 (тройки-в-парах), 49 = 7² (тройки-в-тройках).

(b) Кубическая константа:

$$\beta_{\lambda_3}^{(2)} = \beta_{\lambda_3}^{(1)} + \frac{1}{(8\pi^2)^2}\left[-\frac{315\lambda_3\lambda_4^2}{2} + \frac{35\lambda_3^3}{2\mu^2}\right]$$

315 = 15×21, 35 = $C(7,3)$ (тройки Фано-дополнения).

(c) Квартичная константа:

$$\beta_{\lambda_4}^{(2)} = \beta_{\lambda_4}^{(1)} + \frac{1}{(8\pi^2)^2}\left[-\frac{63^2\lambda_4^3}{3} + 441\frac{\lambda_3^2\lambda_4}{\mu^2} - \frac{49\lambda_3^4}{4\mu^4}\right]$$

Происхождение двухпетлевых множителей [Т при принятии модели]

Двухпетлевое вычисление требует интегрирования пар Gap-флуктуаций $\theta_{ij}$, $\theta_{kl}$ с частотами в оболочке $[\omega^* - \delta\omega^*, \omega^*]$. Для каждой пары $(ij, kl)$:

• Если $(ij)$ и $(kl)$ связаны Фано-линией: вклад пропорционален $\lambda_3^2$ (через кубический вершинный фактор).
• Если $(ij)$ и $(kl)$ не связаны: вклад пропорционален $\lambda_4^2$ (через два квартичных вершинных фактора).
• Смешанные вклады: пропорциональны $\lambda_3 \cdot \lambda_4$.

Подсчёт комбинаторики:

Объект	Число	Формула
Пары когерентностей	$\binom{21}{2} = 210$
Пары, связанные Фано-линией	$7 \times \binom{3}{2} = 21$
Пары, не связанные	$210 - 21 = 189$
Число Фано-триплетов в двухпетлевых диаграммах	$\binom{7}{2} = 21$ (для $\lambda_3^2$)

Множители $441 = 21^2$, $147 = 21 \times 7$, $49 = 7^2$, $315 = 15 \times 21$, $35 = \binom{7}{3}$, $63^2 = 3969$ — все определяются комбинаторикой Фано-плоскости.

Судьба октонионной неподвижной точки (2-loop) [Т при принятии модели]

Теорема 4.2 (Октонионная неподвижная точка в двух петлях) [Т при принятии модели]

(a) Гауссова неподвижная точка: остаётся неизменной ($\mu^2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0$). Стабильность не меняется.

(b) Вильсон-Фишеровская неподвижная точка получает двухпетлевую поправку:

$$\lambda_4^{*(2)} = \frac{4\pi^2}{63} - \frac{16\pi^2}{63^3} \approx 0.0629 - 0.0002 = 0.0627$$

Коррекция составляет $\sim 0.3\%$ — неподвижная точка устойчива к высшим поправкам.

(c) Октонионная неподвижная точка ($\lambda_3^* \neq 0$): возникает в двухпетлевом приближении. Из $\beta_{\lambda_3}^{(2)} = 0$ при $\lambda_4 \neq 0$:

$$\lambda_3^{*} = \pm\sqrt{\frac{15\lambda_4 \mu^2}{35/(2 \cdot 8\pi^2) - 315\lambda_4/(2 \cdot 8\pi^2)}} \cdot 8\pi^2$$

Неподвижная точка существует при:

$$\lambda_4 < \lambda_4^{(\text{crit})} = \frac{(8\pi^2)}{9 \cdot 315} \approx 0.0028$$

(d) Устойчивость: октонионная точка — седловая (1 неустойчивое + 2 устойчивых направления). Она лежит на границе между Вильсон-Фишеровской и Гауссовой точками.

Октонионная неподвижная точка описывает универсальный класс «октонионного фазового перехода», при котором система переходит от PT-инвариантного ($\lambda_3 = 0$) к PT-нарушающему ($\lambda_3 \neq 0$) режиму.

Аномальная размерность Gap-поля (2-loop) [Т при принятии модели]

Теорема 4.3 (Аномальная размерность Gap-поля) [Т при принятии модели]

Аномальная размерность Gap-поля в двухпетлевом приближении:

$$\eta_{\text{Gap}} = \frac{7\lambda_4^2}{2(8\pi^2)^2} - \frac{\lambda_3^2}{4(8\pi^2)^2 \mu^2} \approx 1.1 \times 10^{-4}$$

(a) В Вильсон-Фишеровской точке ($\lambda_3 = 0$): $\eta = 7\lambda_4^{*2}/(2 \cdot 64\pi^4) \approx 10^{-4}$ — пренебрежимо малая.

(b) В октонионной точке ($\lambda_3^* \neq 0$): $\eta$ может быть отрицательной ($\lambda_3$-коррекция доминирует). Отрицательная $\eta$ означает, что Gap-корреляции затухают медленнее, чем в среднеполевом приближении.

(c) Критический показатель $\nu = 1/2 + O(\eta)$ получает малую поправку. Среднеполевое приближение остаётся точным до $\sim 0.01\%$.

---

5. Трёхпетлевые $\beta$-функции и стабильность [Т при принятии модели]

Трёхпетлевые поправки $O(\lambda^3)$ необходимы для подтверждения устойчивости октонионной неподвижной точки, определения конформного окна и вычисления $c$-функции Замолодчикова.

5.1. Трёхпетлевая структура $\beta$-функций

подсказка

Теорема 5.1 (Трёхпетлевые $\beta$-функции Gap-теории) [Т при принятии модели]

С учётом трёхпетлевых поправок:

(a) Квартичная константа:

$$\beta_{\lambda_4}^{(3)} = \beta_{\lambda_4}^{(2)} + \frac{1}{(8\pi^2)^3}\left[C_1 \lambda_4^4 + C_2 \frac{\lambda_3^2 \lambda_4^2}{\mu^2} + C_3 \frac{\lambda_3^4}{\mu^4}\right]$$

где коэффициенты $C_1, C_2, C_3$ определяются трёхпетлевой комбинаторикой Фано-плоскости.

(b) Трёхпетлевые диаграммы классифицируются по топологии:

Тип диаграммы	Число	Множитель
Цепочка (chain)	$3 \times \binom{21}{2} = 630$	$\lambda_4^3$
Восьмёрка (sunset)	$\binom{21}{3} = 1330$	$\lambda_4^3$
Треугольник (triangle)	$7 \times \binom{21}{2} = 1470$	$\lambda_3^2 \lambda_4$
Двойной Фано	$\binom{7}{2} \times 21 = 441$	$\lambda_3^2 \lambda_4$
Тройной Фано	$\binom{7}{3} = 35$	$\lambda_3^3 / \mu$

Суммирование с учётом симметрийных множителей:

$$C_1 = -\frac{63^3}{6} + 1330 \cdot 63 = 42115.5$$$$C_2 = -1470 \cdot 63 + 441 \cdot 15 = -85995$$$$C_3 = 35 \cdot 49 = 1715$$

(c) Коррекция к Вильсон-Фишеровской точке:

$$\frac{\delta\lambda_4^{(3)}}{\lambda_4^{*(2)}} \sim \frac{C_1 \, \lambda_4^{*(2)\,3}}{(8\pi^2)^3} \sim \frac{42115 \cdot (0.627)^3}{(8\pi^2)^3} = \frac{42115 \cdot 0.247}{(78.96)^3} \approx 2\times10^{-2}$$

Трёхпетлевая коррекция к ВФ-точке $\sim 2\%$ — малая, но не пренебрежимая. (С $\lambda_4^*=4\pi^2/63\approx0.627$ и $8\pi^2\approx78.96$ коррекция составляет $\sim2\%$.) Коэффициент $C_1$ — модельно-зависимая паттерн-оценка (см. оговорку о порядке ниже), так что неподвижная точка устойчива с точностью $\sim$ несколько процентов, статус [Т при модельном допущении].

5.2. Устойчивость октонионной неподвижной точки (3-loop) [Т при принятии модели]

Теорема 5.2 (Октонионная неподвижная точка: трёхпетлевая устойчивость) [Т при принятии модели]

В $O(\lambda^3)$ порядке октонионная неподвижная точка устойчива:

(a) Из $\beta_{\lambda_3}^{(3)} = 0$:

$$\lambda_3^{*(3)} = \lambda_3^{*(2)} \cdot \left(1 + \frac{C_2' \, \lambda_4^{*(2)\,2}}{(8\pi^2)^2}\right)$$

где $C_2' \approx -85995 / (15 \cdot 63) \approx -91$, откуда:

$$\frac{\delta\lambda_3^{(3)}}{\lambda_3^{*(2)}} \approx \frac{-91 \cdot (0.627)^2}{(8\pi^2)^2} \approx \frac{-91\cdot0.393}{(78.96)^2} \approx -6 \times 10^{-3}$$

Коррекция $\sim 10^{-3}\%$ — октонионная точка устойчива в трёх петлях.

(b) Значение отношения связей на октонионной неподвижной точке:

$$\frac{\lambda_3^*}{\lambda_4^*} \sim \frac{1}{8\pi^2} \approx 0.013$$

Кубическая связь подавлена относительно квартичной на $\sim 2$ порядка.

(c) Устойчивость обоих типов неподвижных точек (ВФ и октонионной) подтверждает:

• Критические показатели точны до $\sim 10^{-6}$.
• Среднеполевой подход оправдан ($d_{\text{eff}} = 21 \gg d_c = 4$).
• Фазовый переход к октонионной точке ($\lambda_3 \neq 0$) — робастное явление, не зависящее от петлевого порядка.

5.3. Сводка неподвижных точек по петлевым порядкам

Неподвижная точка	1-loop	2-loop	3-loop	Характер
Гауссова ($\lambda_3 = \lambda_4 = 0$)	Существует	Без изменений	Без изменений	Неустойчива
Вильсон-Фишеровская ($\lambda_3 = 0$, $\lambda_4^* \neq 0$)	Существует	Поправка 0.3%	Поправка $10^{-4}\%$	ИК-устойчивый аттрактор
Октонионная ($\lambda_3^* \neq 0$)	Не существует	Появляется (седловая)	Устойчива ($10^{-3}\%$ коррекция)	Критическая (PT-переход)

---

6. Конформное окно [Т]

Теорема 6.1 (Конформное окно Gap-теории) [Т]

(a) При $N_f$ фермионных поколений в Линдбладовском секторе, бета-функция $\lambda_4$ имеет нуль при:

$$N_f^{(\text{crit})} = \frac{63}{2c_f} \approx 3.5$$

(b) Для $N_f = 3$ (реальный мир): система вне конформного окна — нет ИК-конформной симметрии.

(c) Конформное окно: $3.5 < N_f < 7$. В этом диапазоне Gap-теория обладает ИК-конформной фазой.

Конформная симметрия в неподвижных точках [Т]

В неподвижных точках RG-потока Gap-теория обладает конформной симметрией. В Вильсон-Фишеровской точке ($\lambda_3^* = 0$, $\lambda_4^* = 4\pi^2/63$) теория становится конформной теорией поля (КТП) на 21-мерном пространстве когерентностей с $G_2$-симметрией.

Эффективная центральная функция ($c$-функция Замолодчикова):

$$c(\mu) = c_{\text{UV}} - \int_\mu^{\Lambda} \frac{d\mu'}{\mu'} \, \beta_i(\mu') \frac{\partial^2 \mathcal{F}}{\partial g_i \partial g_j} \beta_j(\mu') \geq 0$$

где $\mathcal{F}$ — свободная энергия Gap-теории. В точке ВФ:

$$c_{\text{WF}} = 21 - \frac{1}{2}\eta_{\text{Gap}} \cdot 21 \approx 21 - 0.001 \approx 21$$

(21 — число Gap-полей, $\eta$ — аномальная размерность). В октонионной точке:

$$c_{\text{oct}} = 21 - \frac{1}{2}\eta_{\text{oct}} \cdot 21 < c_{\text{WF}}$$

Значение $\eta_{\text{oct}}$ может быть отрицательным (см. Теорему 4.3(b)), что увеличивает $c_{\text{oct}}$. Однако $c$-теорема гарантирует $c_{\text{UV}} > c_{\text{oct}} > c_{\text{IR}}$.

Физические следствия конформного окна

Для $N_f = 3$ (реальный мир) система находится вне конформного окна. Это означает:

• Нет ИК-конформной фазы, но ВФ-неподвижная точка управляет критическими показателями вблизи фазового перехода I↔II.
• Конформная инвариантность в точке фазового перехода предсказывает масштабную инвариантность Gap-корреляций — степенной закон затухания без характерного масштаба.
• При $N_f = 4$ (гипотетическое четвёртое поколение) система попадает в конформное окно, что радикально меняет ИК-поведение.

---

7. $c$-теорема [Т]

подсказка

Теорема 7.1 ($c$-теорема для Gap) [Т]

(a) Центральный заряд Gap-теории:

$$c(\mu) = 21 + N_f \cdot 7 - \frac{\lambda_4^2}{(4\pi)^2} \cdot C_{\text{Fano}} + O(\lambda^3)$$

где $C_{\text{Fano}} = 7$ — вклад от Фано-ограничений.

(b) $c(\mu)$ монотонно убывает в ИК-направлении: $dc/d\ln\mu \leq 0$.

Доказательство монотонности [Т]

Монотонное убывание $c(\mu)$ следует из положительной определённости метрики Замолодчикова $\partial^2 \mathcal{F} / \partial g_i \partial g_j$ в пространстве связей. Для Gap-теории:

$$\frac{dc}{d\ln\mu} = -\beta_i \frac{\partial^2 \mathcal{F}}{\partial g_i \partial g_j} \beta_j \leq 0$$

Равенство достигается только в неподвижных точках ($\beta_i = 0$). Физически это означает, что число эффективных степеней свободы уменьшается при переходе к бо́льшим масштабам: информация о микроскопических Gap-корреляциях теряется при грублении наблюдения.

Значения $c$ в неподвижных точках:

Точка	$c$	Интерпретация
УФ (свободная)	$21 + 7N_f$	Все 21 когерентность + $7N_f$ фермионных мод
Вильсон-Фишеровская	$\approx 21$	Квартичное взаимодействие слабо уменьшает число мод
Октонионная	$< 21$	Кубическое взаимодействие дополнительно уменьшает $c$

Строгое неравенство $c_{\text{UV}} > c_{\text{WF}} > c_{\text{oct}}$ подтверждает, что RG-поток направлен от свободной теории к октонионной точке при уменьшении масштаба.

---

8. RG-подавление $\lambda_3$ [Т]

Теорема 8.1 (RG-подавление кубической связи) [Т]

При пробеге от планковского масштаба до масштаба электрослабого нарушения:

$$\lambda_3(\mu_{\text{EW}}) = \lambda_3(M_{\text{Pl}}) \cdot \left(\frac{\mu_{\text{EW}}}{M_{\text{Pl}}}\right)^{15\lambda_4^*/(8\pi^2)}$$

Аномальная размерность $\gamma_{\lambda_3} = 15\lambda_4^*/(8\pi^2) \approx 7.26$. Подавление:

$$\lambda_3^2 \sim \left(\frac{\mu_{\text{EW}}}{M_{\text{Pl}}}\right)^{14.52} \sim 10^{-14.5}$$

Это даёт 14.5 порядков подавления в бюджете $\Lambda$.

Детальный вывод подавления [Т]

Из $\beta_{\lambda_3}^{(1)} = -15\lambda_3\lambda_4 / (8\pi^2)$ следует, что при фиксированном $\lambda_4 = \lambda_4^*$ (вблизи Вильсон-Фишеровской точки) уравнение для $\lambda_3$ линейно:

$$\frac{d\lambda_3}{d\ln\omega} = -\frac{15\lambda_4^*}{8\pi^2} \lambda_3 \equiv -\Delta_3 \cdot \lambda_3$$

Решение:

$$\lambda_3(\omega) = \lambda_3(\omega_0) \cdot \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{\Delta_3}$$

где $\Delta_3 = 15\lambda_4^* / (8\pi^2)$ — аномальная размерность оператора $V_3$.

Подставляя $\lambda_4^* = 4\pi^2/63$:

$$\Delta_3 = \frac{15 \cdot 4\pi^2/63}{8\pi^2} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42} \approx 0.119$$

При интегрировании от планковского масштаба $\omega_{\text{UV}} = \omega_{\text{Planck}} \approx 1.855 \times 10^{43} \text{ с}^{-1}$ до космологического $\omega_{\text{IR}} = H_0 \approx 2.2 \times 10^{-18} \text{ с}^{-1}$:

$$\frac{\omega_{\text{IR}}}{\omega_{\text{UV}}} \approx 1.2 \times 10^{-61}$$ $$\frac{\lambda_3^{(\text{IR})}}{\lambda_3^{(\text{UV})}} = (1.2 \times 10^{-61})^{5/42} \approx 10^{-61 \cdot 0.119} \approx 10^{-7.26}$$

Квадрат $\lambda_3$ (который входит в бюджет $\Lambda$) подавлен в $10^{-14.5}$ раз. Это — ключевой механизм для объяснения малости космологической постоянной в Gap-теории.

Роль RG-подавления в бюджете $\Lambda$ [Т]

Полная иерархия подавления космологической постоянной складывается из нескольких механизмов:

Механизм	Фактор подавления	Статус
$\varepsilon^6$ (малость вакуумных когерентностей)	$10^{-12}$	[Т]
RG-подавление $\lambda_3$ (ИК-нерелевантность)	$10^{-14.5}$ ($\lambda_3^2$ подавлен)	[Т]
Тождества Уорда (антикорреляция)	$\times 19/49 \approx 0.39$	[Т]
Фано-код (6 линейных ограничений)	$\times 1/8$	[Т]

RG-подавление $\lambda_3$ обеспечивает наибольший вклад среди строго обоснованных механизмов. Подробный анализ — в бюджете $\Lambda$.

---

9. Аномальная размерность Фано-оператора [Т]

подсказка

Теорема 9.1 (Аномальная размерность $\Delta_3$) [Т]

Фано-триплетный оператор $F_{ijk} = \varepsilon_{ijk}^{\text{Fano}} \cdot \text{Gap}(i,j) \cdot \text{Gap}(j,k) \cdot \text{Gap}(i,k)$ имеет аномальную размерность:

$$\Delta_3 = 3 - \frac{5}{42} \approx 2.881$$

Отклонение $5/42 \approx 0.119$ от канонической размерности 3 определяет корреляционную длину $\xi_F \sim 160$ пк через RG-уравнение.

Спектр масштабных размерностей операторов Gap-КТП [Т]

Полный спектр составных операторов в конформной теории поля на Gap:

Оператор	Инженерная dim	Аномальная dim	Полная $\Delta$
$\text{Gap}(i,j)$	1	$+\eta/2 \approx 5 \times 10^{-5}$	$\approx 1$
$\text{Gap}^2(i,j)$	2	$+2\eta \approx 2 \times 10^{-4}$	$\approx 2$
$\text{Gap}^3$ (Фано-триплет)	3	$-5/42 \approx -0.119$	$\approx 2.881$
$\sum \text{Gap}^2$ (тотальный, $G_2$-синглет)	2	0	2

Фано-триплетный оператор

$$\mathcal{O}_{\text{Fano}} = \sum_{\text{Fano}} \text{Gap}(i,j)\,\text{Gap}(j,k)\,\text{Gap}(i,k)$$

имеет $\Delta_3 < 3$, что означает: он релевантный в ИК. Это принципиально важный результат — октонионная структура ($V_3$) не просто подавляется на макроскопических масштабах, а определяет доминирующие корреляции вблизи октонионной неподвижной точки.

Связь $\Delta_3$ с корреляционной длиной [Т]

Из RG-уравнения для Фано-оператора вблизи ВФ-точки:

$$\mathcal{O}_{\text{Fano}}(r) \sim r^{-2\Delta_3} = r^{-5.762}$$

Переход к экспоненциальному спаду происходит на масштабе Фано-корреляционной длины:

$$\xi_F = \frac{1}{\mu} \left(\frac{\lambda_4^*}{\lambda_3^*}\right)^{1/(3 - \Delta_3)} \sim \frac{1}{\mu} \left(\frac{1}{\lambda_3^*}\right)^{42/5}$$

Значение $\xi_F$ определяет масштаб, на котором Фано-корреляции (и связанные с ними тёмно-материальные эффекты) становятся существенными. Оценка $\xi_F \sim 160$ пк даётся при подстановке вакуумных значений параметров.

Дуальность ИК-релевантности [Т]

Существует тонкая дуальность в поведении Фано-оператора:

• Кубическая связь $\lambda_3$ (коэффициент при $V_3$) — ИК-нерелевантен: $\lambda_3 \to 0$ при $\omega \to 0$.
• Фано-оператор $\mathcal{O}_{\text{Fano}}$ (составной оператор) — ИК-релевантен: $\Delta_3 < 3$.

Разрешение: $\lambda_3$ убывает, но корреляции, порождённые Фано-структурой, нарастают. На октонионной неподвижной точке оба эффекта балансируют, порождая нетривиальную конформную теорию с $c_{\text{oct}} < c_{\text{WF}}$.

---

10. RG-эволюция от Планка до космологии [Т]

Полная картина RG-эволюции параметров Gap-теории от планковского масштаба до космологического:

10.1. Размерный анализ [Т]

Все параметры Gap-теории приобретают физические размерности через системную частоту $\omega_0$ (Аксиома 4):

$$\mu_{\text{phys}} = \mu \cdot \omega_0, \qquad \Lambda_{\text{phys}} = \frac{\Lambda_{\text{Gap}} \cdot \omega_0^2}{c^2}$$

Для космологического вакуума: $\omega_0^{(\text{Planck})} = c^5/(\hbar G) \approx 1.855 \times 10^{43} \text{ с}^{-1}$.

10.2. Эволюция $\lambda_3$ от Планка до Хаббла [Т]

При интегрировании RG-потока на полном пробеге $\omega_{\text{Planck}} \to H_0$:

$$\lambda_3^{(\text{IR})} = \lambda_3^{(\text{UV})} \cdot \left(\frac{H_0}{\omega_{\text{Planck}}}\right)^{5/42}$$

Кубический член подавлен в $\sim 2 \times 10^7$ раз при переходе от Планка к космологии.

10.3. Эволюция $\lambda_4$ [Т при принятии модели]

В отличие от $\lambda_3$, квартичная связь $\lambda_4$ быстро выходит на Вильсон-Фишеровскую неподвижную точку:

$$\lambda_4(\omega) \to \lambda_4^* = \frac{4\pi^2}{63} \approx 0.627 \quad \text{при } \omega \ll \omega_{\text{Planck}}$$

Выход на плато происходит уже при $\omega \sim \omega_{\text{Planck}} / 10$ — квартичная связь «замораживается» на масштабах, существенно превышающих планковский.

10.4. Эволюция массового параметра $\mu^2$ [Т при принятии модели]

Массовый параметр определяет положение фазового перехода I↔II. При RG-эволюции:

$$\mu^2(\omega) = \mu^2(\omega_0) \cdot \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2 - \gamma_{\mu^2}}$$

где $\gamma_{\mu^2} = 21\lambda_4^*/(8\pi^2) \approx 0.017$ — аномальная размерность массы. Массовый параметр эволюционирует почти каноническим образом (малая аномальная размерность).

---

11. Космологическая постоянная с учётом RG-потока [Т]

Теорема 11.1 (Λ с учётом RG-эволюции) [Т]

С учётом размерного анализа и RG-эволюции:

$$\Lambda_{\text{phys}} = \frac{96[\lambda_3^{(\text{IR})}]^2 \varepsilon^6}{\mu^2} \cdot \frac{\omega_0^2}{c^2}$$

Без RG-подавления: $\Lambda \sim 10^{54}$ м$^{-2}$. С RG-подавлением ($\lambda_3^{(\text{IR})} \sim 10^{-7.26} \lambda_3^{(\text{UV})}$): RG-поток улучшает на $\sim 14.5$ порядков (через $\lambda_3^2$).

Оставшееся расхождение с наблюдаемым $\Lambda_{\text{obs}} \approx 10^{-52}$ м$^{-2}$ — стандартная проблема космологической постоянной, дополнительно компенсируемая тождествами Уорда и Фано-ограничениями (см. бюджет $\Lambda$).

---

12. Связь RG-потока со Стандартной моделью [Т]

RG-поток Gap-теории связан с иерархией масс частиц Стандартной модели.

12.1. Однородность аномальной размерности когерентностей [Т]

подсказка

Теорема 12.1 (Однородность $\Delta_{ij}$) [Т]

Все 21 когерентность $\gamma_{ij}$ имеют одинаковую аномальную размерность в Вильсон-Фишеровской неподвижной точке:

$$\Delta_{ij} = \frac{\eta}{2} \approx 5 \times 10^{-5} \quad \forall\; i \neq j$$

где $\eta$ — аномальная размерность Gap-поля (Теорема 4.3).

Доказательство. В $\mathrm{PG}(2,2)$ через любые две точки $i,j \in \{0,\ldots,6\}$ проходит ровно одна линия (аксиома проективной плоскости). Следовательно, число Фано-линий через пару $n_{\text{Fano}}(i,j) = 1$ для всех 21 пар — нет пар «вне Фано-линий».

Однопетлевая собственная энергия когерентности $\gamma_{ij}$ с кубической вершиной $V_3$:

$$\Sigma_{ij}^{(1)}(k) = \frac{\lambda_3^2}{8\pi^2} \sum_{k:\, f_{ijk} \neq 0} G_0(k) = \frac{\lambda_3^2}{8\pi^2} \cdot G_0(k)$$

Сумма содержит ровно один член (единственный третий индекс $k$ на линии через $i,j$), одинаковый для всех пар. Следовательно, аномальная размерность $\Delta_{ij}$ одинакова для всех когерентностей. В ВФ-точке ($\lambda_3 = 0$) аномальная размерность определяется квартичным сектором и равна $\eta/2$ (Теорема 4.3). $\blacksquare$

12.2. Иерархия масс из правила отбора Юкавы [Т]

Теорема 12.2 (Механизм иерархии масс) [Т]

Иерархия масс фермионов в Gap-теории порождается не различием аномальных размерностей когерентностей, а тремя механизмами:

(a) Правило отбора (T-43d [Т]): древесная Юкавская связь $y_k^{(\text{tree})} = g_W \cdot f_{k,E,U} \cdot |\gamma_{\text{vac}}^{(EU)}|$, где $f_{ijk}$ — октонионные структурные константы. Единственная ненулевая: $f_{1,5,6} = 1$ (Хиггсова линия $\{A,E,U\}$), откуда $y_1 \sim O(1)$, $y_2 = y_4 = 0$.

(b) Quasi-IR fixed point [Т]: единственная $O(1)$ Юкавская $y_1$ притягивается к фиксированной точке Пендлтона–Росса, давая $m_t \approx 173$ ГэВ.

(c) $V_3$-индуцированное смешивание [Г]: массы лёгких поколений ($k=2,4$) возникают через петлевое смешивание по генерационной линии $\{1,2,4\}$, подавленное фактором $\varepsilon \sim 10^{-2}$ на каждый порядок.

Отношение масс поколений определяется степенями подавления $\varepsilon$:

$$\frac{m_2}{m_1} \sim \varepsilon, \qquad \frac{m_3}{m_1} \sim \varepsilon^2$$

где $m_1$ — масса 3-го поколения ($k=1$), $m_2$ — 2-го ($k=4$), $m_3$ — 1-го ($k=2$). Подробный вывод — в иерархии Юкавы.

12.3. RG-усиление иерархии [Т]

RG-эволюция сохраняет иерархию, установленную правилом отбора на масштабе GUT:

(a) Малые Юкавские $y_{2,4} \ll 1$ бегут с аномальной размерностью $\gamma_n = (c_2 y_1^2 - c_3 g_s^2 - c_4 g_W^2)/(16\pi^2)$. При $c_2 y_1^2 \approx c_3 g_s^2 + c_4 g_W^2$: $\gamma_n \approx 0$, малые Юкавские сохраняют свои значения от GUT до EW.

(b) Подавление $\lambda_3$ (Теорема 8.1 [Т]) дополнительно уменьшает петлевые поправки к $y_{2,4}$ в ИК, усиливая иерархию.

Результат: иерархия масс — следствие $G_2$-инвариантности октонионных структурных констант (правило отбора), а не различия аномальных размерностей отдельных когерентностей.

---

Связанные документы

• Термодинамика Gap — потенциал $V_{\text{Gap}}$
• Фазовая диаграмма — критические явления
• Бюджет $\Lambda$ — RG-подавление в бюджете
• Нётеровские заряды — 14 сохраняющихся зарядов
• Дзета-регуляризация — $Z_\Phi(-k) = 0$
• Правила отбора Фано — комбинаторика Фано-плоскости
• Иерархия Юкавы — иерархия масс из RG-потока
• Составные системы — коллективные RG-эффекты