Реконструкция и идентифицируемость Γ

Область действия и исправление (2026-10-03)

Эта страница задаёт основание обратной задачи для измерительного и экспериментального протоколов. Она заменяет снятый вывод «ригидность пространства состояний обеспечивает единственность нейронного кодировщика». Теоремы ниже относятся к заданной модели наблюдения. Соответствие биологических или ИИ-измерений этой модели остаётся эмпирической гипотезой [Г].

1. Четыре разных отображения

Пусть $\mathsf D_7=\{\Gamma=\Gamma^\dagger\succeq0:\operatorname{Tr}\Gamma=1\}$. Различаем:

1. Модель наблюдения $\mathsf O_\theta:\mathsf D_7\to\prod_{a\in\mathsf A}\mathcal P(\mathsf Y_a)$: вероятностный закон данных для каждой заранее объявленной настройки измерения или вмешательства $a$. Параметры калибровки $\theta$ и функциональный репер фиксируются до подтверждающего опыта.
2. Отображение статистик $F_\theta:\mathsf D_7\to\mathbb R^m$, например средних измеренных признаков. Равенство статистик обеспечивает равенство законов лишь при соответствующем условии модели, например в гауссовской модели положения с известной фиксированной ковариацией.
3. Оценщик $\hat\pi_\theta:y\mapsto\hat\Gamma$ либо многозначная реконструкция $y\mapsto\mathcal C(y)\subseteq\mathsf D_7$ по конечным шумным данным. Линейность и обратимость не предполагаются.
4. Физический канал $\mathcal E:\mathcal B(\mathcal H)\to\mathcal B(\mathbb C^7)$: если он называется CPTP, он должен быть линейным, вполне положительным и сохраняющим след.

Softmax, нормированное разложение Холецкого и оптимизация правдоподобия дают допустимые состояния; их композиция от этого не становится CPTP-каналом. Правило подготовки отдельно может задать классико-квантовый канал $p\mapsto\sum_xp_x\hat\pi_\theta(x)$ на указанной классической входной алгебре. Этот канал не доказывает, что оценщик восстанавливает онтологическое состояние системы. См. Watrous, глава 2, определение 2.13.

Если $\theta$ неизвестно, идентифицируемость проверяется для совместной модели $(\Gamma,\theta)\mapsto\mathsf O_\theta(\Gamma)$. Свободная калибровка и свободное скрытое состояние обычно допускают компенсирующие изменения; фиксация подогнанного $\theta$ является правилом протокола, а не доказательством единственности скрытой интерпретации.

2. Сильнейшее общее утверждение о единственности

Определим наблюдательную эквивалентность:

$$\Gamma\sim_\theta\Sigma\quad\Longleftrightarrow\quad \mathsf O_\theta(\Gamma)=\mathsf O_\theta(\Sigma) \quad\text{при всех }a\in\mathsf A.$$

Теорема ID-1 (идентификация по слоям наблюдения) [Т]

При фиксированной модели точные популяционные данные определяют ровно класс эквивалентности $[\Gamma]_\theta$. Полное состояние идентифицируемо на допустимом множестве $\mathsf S\subseteq\mathsf D_7$ тогда и только тогда, когда $\mathsf O_\theta|_{\mathsf S}$ инъективно. Величина $q$ идентифицируема тогда и только тогда, когда она постоянна на каждом слое наблюдения в $\mathsf S$.

Доказательство. Одинаковые законы дают одинаковое распределение результатов всякого разрешённого планом эксперимента, поэтому состояния неразличимы. Разные законы различают состояния на популяционном уровне по определению. Величина спускается на $\mathsf O_\theta(\mathsf S)$ ровно тогда, когда принимает одинаковое значение на каждом слое. $\square$

Это статистическая идентификация; она отличается от точности и успеха на конечной выборке. Классическое различение развито в Rothenberg, Identification in Parametric Models (1971).

Почему ригидность кодировщика не следует

Прежнее доказательство образовывало $\pi_2\circ\pi_1^{-1}$ из непрерывных отображений пространства признаков. Непрерывность не обеспечивает ни обратимости, ни сюръективности. Даже при обратимости $\pi_1$ на образе композиция сначала определена лишь на этом образе и не обязана продолжаться до автоморфизма всего $\mathsf D_7$, сохраняющего структуру.

Элементарный контрпример: $\mathsf X=[-1,1]^2$, $A=\operatorname{diag}(1,-1,0,\ldots,0)$ и

$$\pi_1(x,z)=I/7+x^2A/28,\qquad \pi_2(x,z)=I/7+x^2A/56.$$

Оба кодировщика непрерывны, положительны, имеют единичный след и необратимы. При $x\ne0$ их чистоты различны, поэтому они не связаны унитарным сопряжением. Это опровергает вывод из одной непрерывности и допустимости состояний; всякую более сильную функциональную или феноменологическую посылку нужно записать как явное ограничение и доказать её достаточность.

Ковариантность тоже не определяет кодировщик. На $\mathsf D_7\times[0,1]$ отображения $(\Gamma,s)\mapsto\Gamma$ и $(\Gamma,s)\mapsto(1-s)\Gamma+sI/7$ оба эквивариантны относительно одновременного унитарного сопряжения. Они в общем случае неэквивалентны и необратимы.

Остаточная симметрия

Пусть объявленная группа $K$ действует на состояниях. Единственность с точностью до $K$ требует отдельного утверждения

$$\mathsf O_\theta(\Gamma)=\mathsf O_\theta(\Sigma) \quad\Longleftrightarrow\quad \Sigma\in K\cdot\Gamma.$$

Инвариантность наблюдения даёт только включение $K\cdot\Gamma\subseteq[\Gamma]_\theta$, а не равенство. Применимая остаточная группа должна сохранять весь план наблюдения, метки, калибровку и заявленные величины. Она может быть меньше $G_2$, меньше $\Gamma_{\!\mathrm{oct}}$ или тривиальной. Ненаблюдаемая степень свободы, меняющая физическую величину, — неидентифицируемость, а не автоматически калибровочная свобода. Выравнивание репера не должно вращать уже фиксированный функциональный репер или скрывать расхождения $\Phi$ и $\mathrm{Coh}_E$.

3. Полная и устойчивая линейная модель наблюдения

Пусть $H_1,\ldots,H_m$ — калиброванные эрмитовы операторы наблюдения и

$$M(\Gamma)_a=\operatorname{Tr}(H_a\Gamma),\qquad \mathsf H_0=\{\Delta=\Delta^\dagger:\operatorname{Tr}\Delta=0\}.$$

Вещественная размерность $\mathsf H_0$ равна $7^2-1=48$.

Теорема ID-2 (информационная полнота и устойчивость) [Т]

Эквивалентны следующие условия:

1. $M$ инъективно на всём $\mathsf D_7$.
2. $\ker M\cap\mathsf H_0=\{0\}$.
3. Проекции $H_a-\operatorname{Tr}(H_a)I/7$ линейно порождают $\mathsf H_0$.

Если они выполнены, положим $\alpha=\inf_{\Delta\in\mathsf H_0,\|\Delta\|_{\mathrm{HS}}=1}\|M(\Delta)\|_2>0$. Тогда

$$\|\Gamma-\Sigma\|_{\mathrm{HS}} \leq\alpha^{-1}\|M(\Gamma)-M(\Sigma)\|_2.$$

Доказательство. Разность эрмитовых матриц с единичным следом бесследова. Если ненулевое бесследовое $\Delta$ принадлежит ядру, $I/7\pm\varepsilon\Delta$ при достаточно малом $\varepsilon>0$ — различные матрицы плотности с одинаковыми наблюдениями. Это доказывает (1) iff (2); ортогональность ко всем проекциям доказывает (2) iff (3). Инъективность и компактность единичной сферы $\mathsf H_0$ дают $\alpha>0$ и оценку. $\square$

Конечномерное доказательство приведено здесь полностью. Операторные фреймы и информационно полные квантовые измерения систематически рассматриваются у Scott (2006). Для физических квантовых измерений $H_a$ должны быть реализуемыми наблюдаемыми либо соответствующие эффекты должны образовывать указанные POVM; произвольный нейронный признак не становится известным эффектом POVM от присвоения ему метки оси.

Явный координатный план использует $E_{ij}=|i\rangle\langle j|$ и измеряет

$$\operatorname{Tr}(E_{ii}\Gamma)=\gamma_{ii},\quad \operatorname{Tr}\left(\frac{E_{ij}+E_{ji}}2\Gamma\right)=\operatorname{Re}\gamma_{ij},\quad \operatorname{Tr}\left(\frac{i(E_{ij}-E_{ji})}2\Gamma\right)=\operatorname{Im}\gamma_{ij}.$$

Семь диагональных величин связаны условием следа; $21+21$ вещественных и мнимых частей когерентностей дают в сумме 48 независимых вещественных координат. Для произвольного полного состояния в линейном плане необходимо $m\geq48$ независимых статистик. Одна конечная информационно полная POVM требует как минимум 49 исходов, поскольку их вероятности суммируются в единицу. Ни один подсчёт не означает достаточности 48 образцов или глобальной идентификации любыми 48 нелинейными признаками.

4. Фазы нельзя восстановить из модулей

Если модель зависит лишь от $\gamma_{ii}$, $|\gamma_{ij}|$ и $\mathrm{Gap}_{ij}=|\sin\arg\gamma_{ij}|$ (нуль при нулевой когерентности), она информационно неполна.

Возьмём равномерную диагональ $1/7$, $a=1/28$ и ненулевые когерентности только на ориентированном треугольнике $(1,2),(2,3),(3,1)$: все три равны $ae^{i\pi/6}$, на обратных рёбрах — эрмитово сопряжённые значения. Строгое диагональное преобладание ($1/7>2a$) обеспечивает положительную определённость. У этой матрицы и её комплексного сопряжения совпадают диагонали, модули и Gap, но противоположны голономии треугольника:

$$\arg(\gamma_{12}\gamma_{23}\gamma_{31})=\pm\pi/2.$$

Их спектры равны; первый пример показывает потерю ориентированной фазовой информации, а не различие энтропии. Чтобы увидеть потерю спектральной информации, поменяем только ориентированную фазу $(3,1)$ на $-\pi/6$. Те же диагональ, модули и все попарные Gap сохраняются, а голономия становится $\pi/6$. Для этого семейства

$$\operatorname{Tr}(\Gamma^3)=\frac1{49}+\frac{18a^2}{7}+6a^3\cos(\theta_{12}+\theta_{23}+\theta_{31}),$$

поэтому у последних состояний спектры различны. Правило $\arcsin(\mathrm{Gap})$ выбирает ветвь, а не восстанавливает фазу. Величина фазовой синхронизации $|\langle e^{i(\phi_i-\phi_j)}\rangle|$ вещественна и неотрицательна. Знаковая фаза требует комплексного среднего $\langle e^{i(\phi_i-\phi_j)}\rangle$, объявленного эталона и проверенной связи с $\gamma_{ij}$. Отсутствующие знаковые измерения должны оставаться отсутствующими.

$P$, $R$ и каноническая $\Phi$ могут быть идентифицируемы по полной диагональной и модульной информации в фиксированном репере, даже если полное состояние не идентифицируемо. Спектральные и фазочувствительные величины проверяются отдельно; положительность ограничивает допустимые фазы, но не устраняет приведённые контрпримеры.

5. Нелинейная, граничная и динамическая идентификация

Для $C^1$-отображения статистик $F_\theta$ вблизи полнорангового состояния используем локальные координаты $q\in\mathbb R^{48}$. Если $D_qF_\theta$ имеет столбцовый ранг 48, у некоторого набора из 48 выходных координат якобиан обратим. Теорема об обратной функции даёт локальную идентификацию и локальную оценку устойчивости. Это достаточное, не необходимое условие в особых точках: $x\mapsto x^3$ инъективно при нулевой производной в нуле. Полный ранг не исключает удалённых состояний с одинаковыми данными. Дефект ранга во всей окрестности постоянного ранга даёт локальные слои; один вырожденный якобиан сам по себе не доказывает неидентифицируемость.

В гауссовской модели среднего $y\sim\mathcal N(F_\theta(q),\Sigma)$ при известной $\Sigma\succ0$ матрица Фишера равна $J^T\Sigma^{-1}J$. Невырожденность даёт предыдущий локальный критерий. Общие эквивалентности через информацию Фишера требуют регулярности; их нельзя без изменений переносить на границу неполного ранга или зависящий от состояния носитель распределения. Состояния ранга $r$ образуют страт вещественной размерности $14r-r^2-1$; идентификация при ограничении ранга должна отличать его от соседних состояний других рангов. См. Heinosaari, Mazzarella и Wolf (2013), Quantum Tomography under Prior Information.

Реконструкция состояния, идентификация скоростей динамики и валидация кодировщика — разные задачи. При известной линейной динамике $\Gamma(t)=\mathcal T_t(\Gamma_0)$ наблюдения в моменты $t_k$ определяют начальное состояние тогда и только тогда, когда

$$\Delta\longmapsto\big(M\mathcal T_{t_k}(\Delta)\big)_k$$

инъективно на $\mathsf H_0$. Неизвестные скорости требуют совместной идентификации с $\Gamma_0$. Достаточно богатый временной ряд может дать недостающую информацию, но ни существование ОДУ, ни единственность его решений не доказывают наблюдаемость. Диссипативная обратная задача может быть плохо обусловлена даже при единственности.

6. Реконструкция должна содержать неопределённость

В линейной гауссовской модели решаем выпуклую задачу

$$\hat\Gamma\in\arg\min_{\Gamma\in\mathsf D_7} \|\Sigma^{-1/2}(M(\Gamma)-y)\|_2^2.$$

Непрерывность и компактность обеспечивают существование минимума; ID-2 и $\Sigma\succ0$ дают строго выпуклую цель на аффинном пространстве единичного следа, а значит единственность минимума. При неполном плане минимумов может быть несколько. Априорное ограничение или правило выбора может оставить один; это не информация, полученная из данных.

Публикуем калиброванное доверительное множество, например

$$\mathcal C_\varepsilon(y)=\{\Gamma\in\mathsf D_7: \|\Sigma^{-1/2}(M(\Gamma)-y)\|_2\leq\varepsilon\},$$

с заранее объявленным правилом покрытия для $\varepsilon$, проверенным в модели шума и калибровки. Если множество пусто, сообщаем несовместимость модели наблюдения; не принуждаем состояние попасть в проверяемое окно жизнеспособности. Если ID-2 выполнена и $\alpha$ вычислена для отбелённого отображения, диаметр множества не превосходит $2\varepsilon/\alpha$. Также на $\mathsf D_7$ выполнены $|P(\Gamma)-P(\Sigma)|\leq2\|\Gamma-\Sigma\|_{\mathrm{HS}}$ и $|R(\Gamma)-R(\Sigma)|\leq7|P(\Gamma)-P(\Sigma)|$.

Для каждой величины публикуем диапазон на $\mathcal C_\varepsilon$. Вердикт определён только при постоянстве предиката на всём множестве; иначе сообщаем не определено данным измерением. Представитель, выбранный оптимизатором, не заменяет эту проверку.

7. Требования подтверждающего протокола

Защиты SUB-1 … SUB-6 сохраняются: заморозить калибровку на бодрствовании, исключить PCI и поведение из подтверждающего предиктора, положить $\lambda_1=\lambda_2=0$. Дополняем:

• ID-A: предрегистрировать закон наблюдения, измерения знаковых фаз, функциональный репер, обработку пропусков, модель шума и независимые настройки; доказать глобальную идентификацию на заявленном допустимом множестве либо явно сообщать частичную идентификацию.
• ID-B: публиковать ранг и наименьшее сингулярное число калиброванного плана/якобиана, неопределённость калибровки, доверительные множества состояний и тесты восстановления синтетических состояний, включая фазовые контрпримеры.
• ID-C: предрегистрировать диапазоны величин и неопределённые вердикты; не заменять отсутствующие знаковые фазы нулями или $\arcsin(\mathrm{Gap})$.
• ID-D: сравнивать предсказания вне выборки с равным образом заданными альтернативными кодировщиками и моделями сопоставимой сложности. Различать качество замороженного классификатора, адекватность его модели наблюдения и онтологическое утверждение, что его состояние есть $\Gamma$ системы.

Эти требования усиливают эксперимент, делая его неудачу содержательной. Они не задают феноменологический или онтологический мост по определению.