Fano-отпечаток: полярные скорости, сумм-правила и томография линий

Спросите Fano-разведённую систему, как быстро умирает каждая из её двадцати одной когерентности, — и она сможет ответить лишь семью числами. Остальные четырнадцать степеней свободы не спрятаны — они запрещены, и запрещённые направления суть знаковый твист $\mathfrak{g}_2$. То, чего система не может, — такой же отпечаток, как и то, что она делает.

Статус документа

Ядро — Теорема T-226 [Т]: элементарная линейная алгебра и конечная геометрия над точными канальными формами корпуса; каждое доказательство полно, каждое утверждение машинно верифицировано в точной (символьной) арифметике. Динамическая посылка — формула попарных скоростей затухания — каноническая [Т]-форма Γ-динамики. Отождествление математических скоростей с лабораторными скоростями декогеренции — [И], как и всюду в корпусе. Технологические пункты — [С]/[О]. Статусы проставлены по месту.

Как организован документ. Документ самодостаточен при школьной линейной алгебре; кодовый и конечно-геометрический фон, если он нужен, строится с нуля в праймере Σ-исчисления §2. §1 формулирует известную посылку — точные попарные скорости затухания — и ставит вопрос: какая часть 21-мерного пространства скоростей достижима при варьировании семи скоростей линий? §2 доказывает цепочку лемм; §3 собирает Теорему T-226 со всеми семью частями. §4 отождествляет запрещённое подпространство со знаковым твистом $\mathfrak{g}_2$ — второе, динамическое явление тени Ли из Σ-исчисления. §5 извлекает охранное прочтение. §6 даёт фальсифицируемое предсказание и технологический пакет; §7 фиксирует машинную верификацию; §8 — сводка статусов.

§1. Посылка и вопрос

Корпус фиксирует диссипативную половину Γ-динамики семью проекторами Фано: по одному линдбладовскому каналу на прямую $\ell_p = \{p,\, p{+}1,\, p{+}3\} \pmod 7$ плоскости $\mathrm{PG}(2,2)$, с неотрицательной скоростью $\gamma_p$ на прямую (Динамика Gap §2, Эволюция). Точная канальная форма — замкнутая экспонента, установленная каноном v2.2, — даёт каждой внедиагональной когерентности $(i,j)$, $i \neq j$, чисто экспоненциальное затухание $e^{-r_{ij} t}$ с

$$r_{ij} \;=\; \frac{1}{6} \sum_{p\,:\, |\ell_p \cap \{i,j\}| = 1} \gamma_p .$$

Словами: прямая повреждает когерентность, только если она разделяет пару — содержит ровно один из её концов. Для равномерного назначения $\gamma_p = \bar\gamma$ это воспроизводит корпусную константу $r = \tfrac{2}{3}\bar\gamma$, согласованную с дискретным людерсовским множителем $1/3$ за полный цикл (T-110) и тождеством времени цикла $\bar\gamma\tau_{\mathrm{cycle}} = \tfrac{3}{2}\ln 3$.

Семь $\gamma_p$ — микроскопические ручки системы; двадцать одна $r_{ij}$ — то, что видит скоростной эксперимент. Естественные — и, как выясняется, точно разрешимые — вопросы таковы:

Когда $\gamma \in \mathbb{R}^7$ пробегает все назначения скоростей линий, какие векторы $r \in \mathbb{R}^{21}$ возникают? Каким линейным тождествам обязано удовлетворять всякое реализуемое $r$? Восстанавливается ли $\gamma$ из $r$ — точно и устойчиво? И детектируют ли ответы саму разводку Фано?

§2. Цепочка лемм

Всюду $G := \sum_p \gamma_p$ — полный поток, а $T_m := \sum_{p\,:\, m \in \ell_p} \gamma_p$ — точечный поток оси $m$: сумма скоростей трёх прямых через $m$.

Лемма Φ.1 (тождество суммы по прямой)

Для всякой прямой Фано $\ell$: $\displaystyle\sum_{m \in \ell} T_m = G + 2\gamma_\ell$.

Доказательство. $\sum_{m\in\ell} T_m = \sum_p \gamma_p\,|\ell_p \cap \ell|$. Прямая $\ell$ пересекает саму себя в $3$ точках, а всякую другую прямую — ровно в одной (две различные прямые проективной плоскости встречаются в одной точке). Значит, сумма равна $3\gamma_\ell + \sum_{p \neq \ell}\gamma_p = 3\gamma_\ell + (G - \gamma_\ell) = G + 2\gamma_\ell$. $\blacksquare$

Лемма Φ.2 (общая форма для пары)

Для произвольной $3$-однородной разводки (любое семейство $3$-элементных «прямых», не обязательно Фано)

$$r_{ij} \;=\; \tfrac{1}{6}\bigl(T_i + T_j - 2 S_{ij}\bigr), \qquad S_{ij} := \sum_{p\,:\,\{i,j\} \subseteq \ell_p} \gamma_p .$$

Доказательство. Включение–исключение по числу концов: прямые, пересекающие $\{i,j\}$ ровно в одной точке, — это прямые через $i$, плюс прямые через $j$, минус дважды прямые через обе. $\blacksquare$

Лемма Φ.3 (полярное тождество)

В разводке Фано пусть $\lambda = \lambda(i,j)$ — единственная прямая через пару $\{i,j\}$, а $k$ — её третья точка. Тогда

$$r_{ij} \;=\; \frac{G - T_k}{6}.$$

Доказательство. По инцидентности Фано $S_{ij} = \gamma_\lambda$ (через пару проходит ровно одна прямая). Лемма Φ.1 для $\lambda = \{i,j,k\}$ даёт $T_i + T_j = G + 2\gamma_\lambda - T_k$. Подстановка в Лемму Φ.2: $r_{ij} = \tfrac{1}{6}(G + 2\gamma_\lambda - T_k - 2\gamma_\lambda) = (G - T_k)/6$. $\blacksquare$

Определение (полярное разбиение)

Для пары $\{i,j\}$ положим $\pi(i,j) :=$ третья точка прямой $\lambda(i,j)$ — её полярная точка. Полярный класс оси $k$ — это $P_k := \{\ell \setminus \{k\} : \ell \ni k\}$ — три пары, дополняющие три прямые через $k$. Семь классов по три пары в каждом разбивают все $\binom{7}{2} = 21$ пары. Это полярность точка–пара плоскости $\mathrm{PG}(2,2)$: та же тройная структура, что лежит под октонионным произведением ($e_i e_j = \pm e_{\pi(i,j)}$) и грамматикой шестнадцати архетипов Γ-канона.

Лемма Φ.4 (образ и инъективность)

Линейная карта $M : \gamma \mapsto r$ имеет ранг $7$; её образ — в точности пространство функций, постоянных на каждом полярном классе.

Доказательство. По Лемме Φ.3 $r_{ij} = \rho_{\pi(i,j)}$ с $\rho_k := (G - T_k)/6$, так что образ лежит в классово-постоянном подпространстве размерности $7$. Для равенства и инъективности достаточно обратить карту: Лемма Φ.5 линейно восстанавливает $\gamma$ из $\rho$, значит $M$ инъективна и образ — всё классово-постоянное пространство. $\blacksquare$

Лемма Φ.5 (томография линий)

Пусть $N$ — матрица инцидентности точка–прямая $7 \times 7$ ($N_{kp} = 1$ т. и т.т., когда $k \in \ell_p$; в циклической маркировке это циркулянт с символом $\{0,1,3\}$, $\det N = 24$). Тогда

$$N^{-1} \;=\; \tfrac{1}{2}N^{\mathsf T} - \tfrac{1}{6}J,$$

и скорости линий восстанавливаются из семи полярных значений $\rho_k$ так:

$$G = \tfrac{3}{2}\sum_k \rho_k, \qquad T_k = G - 6\rho_k, \qquad \boxed{\;\gamma_p \;=\; 3\Bigl(\tfrac{1}{2}\sum_{k}\rho_k \;-\; \sum_{k \in \ell_p}\rho_k\Bigr).\;}$$

Доказательство. $(N^{\mathsf T} N)_{pq} = |\ell_p \cap \ell_q|$ равно $3$ на диагонали и $1$ вне её, т.е. $N^{\mathsf T}N = 2I + J$; и $JN = 3J$, поскольку на каждой прямой три точки. Отсюда $(\tfrac12 N^{\mathsf T} - \tfrac16 J)N = \tfrac12(2I+J) - \tfrac12 J = I$. Суммируя $\rho_k = (G-T_k)/6$ по $k$ и используя $\sum_k T_k = 3G$, получаем $\sum_k \rho_k = \tfrac{2}{3}G$ — восстановление $G$; далее $T = G\mathbf{1} - 6\rho$ и $\gamma = N^{-1}T = \tfrac12 N^{\mathsf T}T - \tfrac16 (\mathbf 1^{\mathsf T}T) \mathbf 1 = \tfrac12\sum_{k\in\ell_p}T_k - \tfrac12 G$, что упрощается до формулы в рамке. $\blacksquare$

Лемма Φ.6 (обусловленность)

$M^{\mathsf T} M = \tfrac{1}{6}(I + J)$. Следовательно, сингулярные значения $M$ суть $\tfrac{2}{\sqrt 3}$ (однократно, на направлении полного потока) и $\tfrac{1}{\sqrt 6}$ (кратности шесть), а число обусловленности равно $2\sqrt2 \approx 2{,}83$.

Доказательство. $(36\,M^{\mathsf T}M)_{pq}$ считает пары, пересекающие $\ell_p$ и $\ell_q$ ровно в одной точке каждую. При $p = q$: один конец на прямой, другой вне её — $3 \cdot 4 = 12$ пар. При $p \neq q$, с точкой пересечения $z$: либо один конец в $\ell_p \setminus z$, а другой в $\ell_q \setminus z$ ($2 \cdot 2 = 4$ пары), либо один конец равен $z$ — он лежит на обеих прямых, и тогда второй конец обязан избегать обеих ($7 - 5 = 2$ пары); итого $6$. Значит, $36\,M^{\mathsf T}M = 12I + 6(J - I) = 6(I+J)$. Собственные значения $\tfrac16(I+J)$: $\tfrac{8}{6} = \tfrac43$ на константах и $\tfrac16$ на шестимерном дополнении. $\blacksquare$

Лемма Φ.7 (селектор-обращение)

Для $3$-однородной разводки из $7$ прямых на $7$ осях четырнадцать полярных равенств (§3(ii)) выполняются тождественно по $\gamma$ тогда и только тогда, когда всякая пара осей лежит ровно на одной прямой — т.е. когда разводка есть $2$-$(7,3,1)$-дизайн, а значит, плоскость Фано.

Доказательство. ($\Leftarrow$) — Лемма Φ.3. ($\Rightarrow$) Полное покрытие пар удовлетворяет $\sum_{\{i,j\}} S^{\#}_{ij} = 7\binom{3}{2} = 21$, где $S^{\#}_{ij}$ — число прямых через пару; если покрытие не тождественно $1$, некоторая пара покрыта $0$ раз. Для такой пары Лемма Φ.2 даёт $r_{ij} = \tfrac16(T_i + T_j)$ — функционал от $\gamma$ с носителем на шести прямых через $i$ или $j$, тогда как всякая пара с покрытием $1$ имеет четырёхлинейную полярную форму. Два линейных функционала с разными векторами коэффициентов не могут совпадать тождественно, и прямая проверка показывает, что никакое размещение $21$ пары по $7$ тройкам равенств не выживает (в явной одно-линейной перекоммутации §7 семь из четырнадцати равенств уже падают тождественно). А $2$-$(7,3,1)$-дизайн есть плоскость Фано с точностью до перенумерации — цепочка единственности Теоремы Σ, Леммы Σ.1–Σ.2. $\blacksquare$

§3. Теорема T-226 (Fano-отпечаток)

Теорема T-226 [Т]. Пусть диссипативная Γ-динамика несёт скорости линий $\gamma \in \mathbb{R}^7_{\geq 0}$ на разводке Фано, и пусть $r \in \mathbb{R}^{21}$ — точные попарные скорости затухания когерентностей. Тогда:

(i) Полярный закон. $r_{ij} = \rho_{\pi(i,j)}$, где $\rho_k = (G - T_k)/6$: двадцать одна скорость принимает не более семи значений, постоянных на полярных классах; скорость зависит от пары лишь через её полярную точку.

(ii) Четырнадцать сумм-правил (полярные равенства). Реализуемое множество — в точности $7$-мерное подпространство классово-постоянных векторов. Эквивалентно: внутри каждого полярного класса три скорости совпадают —

$$r_{ij} = r_{i'j'} \quad\text{если}\quad \pi(i,j) = \pi(i',j'),$$

четырнадцать независимых линейных тождеств, которым всякая Fano-разведённая система обязана удовлетворять при любых значениях скоростей линий.

(iii) Томография линий. Карта $\gamma \mapsto r$ инъективна и обращается в замкнутой форме: измерение семи полярных значений $\rho_k$ даёт $\gamma_p = 3\bigl(\tfrac12 \sum_k \rho_k - \sum_{k \in \ell_p} \rho_k\bigr)$ точно (Лемма Φ.5). Полинейные силы диссипации — наблюдаемые, а не подгоночные параметры.

(iv) Обусловленность. $M^{\mathsf T}M = \tfrac16(I+J)$; сингулярные значения $2/\sqrt3$ и $1/\sqrt6$ ($\times 6$); число обусловленности $2\sqrt2$. Шум скоростей переносится в $\gamma$ с усилением не более $\sqrt6 \approx 2{,}45$ — томография численно доброкачественна.

(v) Точная щель и остывание. На секторе когерентностей диссипативный генератор имеет спектр $\{-\rho_k\}$ с кратностью $6$ на полярный класс (три пары, вещественная и мнимая части; классы с равными $\rho_k$ сливаются); его спектральная щель

$$\Delta \;=\; \min_k \rho_k \;=\; \frac{G - \max_k T_k}{6},$$

так что оценка остывания нейрогенеза T-39a становится полностью явной: $\tau_{\mathrm{cool}} \geq 1/\Delta = 6/(G - \max_k T_k)$. Равномерные скорости дают $\Delta = \tfrac23\bar\gamma$.

(vi) Селектор. Четырнадцать полярных равенств выполняются тождественно по $\gamma$ тогда и только тогда, когда разводка — плоскость Фано (Лемма Φ.7). Сумм-правила — не бухгалтерия, а отпечаток: они детектируют комбинаторную грамматику самой динамики, независимо от октонионного трека — операциональный спутник селектора диагностируемости Теоремы Σ.

(vii) Двусторонний бюджет. Измерение скоростей стоит $7$ чисел, а не $21$; остальные $14$ измерений — бесплатные проверки согласованности. Двойственно: семь $\rho_k$ определяют семь $\gamma_p$ и определяются ими — спектр скоростей и спектр линий суть линейно эквивалентные карты одного пространства ручек.

Доказательство. Части (i)–(iv) — Леммы Φ.3–Φ.6; (v) следует из точной канальной формы (каждая когерентность — собственный вектор диссипативного фактора с собственным значением $-r_{ij}$, населённости сохраняются) вместе с (i); (vi) — Лемма Φ.7; (vii) переформулирует (ii)–(iii). $\blacksquare$

Замечание (что здесь [Т], а что [И]). Теорема — точная линейная алгебра над [Т]-канальными формами. Её эмпирическое применение — чтение измеренных скоростей декогеренции кандидатной септархитектуры как $r_{ij}$ — наследует обычное [И]-отождествление осей с измеряемыми каналами, как во всяком предсказании корпуса.

§3a. Разобранный пример, из конца в конец

Абстрактные теоремы оправдывают себя на конкретных числах. Возьмём скорости линий просто $\gamma_p = p + 1$ (в каких угодно единицах измерения диссипации), $p = 0, \dots, 6$ — нарочно неравномерные, чтобы вся структура была видна. Тогда $G = 1 + 2 + \cdots + 7 = 28$.

Шаг 1 — точечные потоки. Ось $k$ лежит на трёх прямых $\ell_k, \ell_{k-1}, \ell_{k-3}$ (индексы mod 7), так что $T_k = \gamma_k + \gamma_{k-1} + \gamma_{k-3}$:

ось $k$	0	1	2	3	4	5	6
прямые через $k$	$\ell_0,\ell_6,\ell_4$	$\ell_1,\ell_0,\ell_5$	$\ell_2,\ell_1,\ell_6$	$\ell_3,\ell_2,\ell_0$	$\ell_4,\ell_3,\ell_1$	$\ell_5,\ell_4,\ell_2$	$\ell_6,\ell_5,\ell_3$
$T_k$	$13$	$9$	$12$	$8$	$11$	$14$	$17$
$\rho_k = \tfrac{28 - T_k}{6}$	$\tfrac{5}{2}$	$\tfrac{19}{6}$	$\tfrac{8}{3}$	$\tfrac{10}{3}$	$\tfrac{17}{6}$	$\tfrac{7}{3}$	$\tfrac{11}{6}$

Проверки согласованности сходятся точно: $\sum_k T_k = 84 = 3G$ и $\sum_k \rho_k = \tfrac{56}{3} = \tfrac{2}{3}G$ (восстановление $G$ из Леммы Φ.5).

Шаг 2 — двадцать одна скорость есть эти семь чисел. Каждая когерентность $(i,j)$ затухает со скоростью $\rho_{\pi(i,j)}$. Например, пара $\{1,3\}$ лежит на $\ell_0 = \{0,1,3\}$, её полярная точка — $0$, поэтому $r_{13} = \rho_0 = \tfrac{5}{2}$ — и то же значение разделяют две другие пары, полярные $0$: $\{4,5\}$ (остаток $\ell_4 = \{4,5,0\}$) и $\{2,6\}$ (остаток $\ell_6 = \{6,0,2\}$). По одной паре от каждой из трёх прямых через полярную точку; три скорости на точку, семь значений всего, четырнадцать равенств бесплатно.

Шаг 3 — томография, запущенная задом наперёд. Восстановим $\gamma_0$ из семи полярных значений: $\tfrac12\sum_k \rho_k = \tfrac{28}{3}$, прямая $\ell_0 = \{0,1,3\}$ имеет полярную сумму $\rho_0 + \rho_1 + \rho_3 = \tfrac{5}{2} + \tfrac{19}{6} + \tfrac{10}{3} = 9$, и

$$\gamma_0 \;=\; 3\Bigl(\tfrac{28}{3} - 9\Bigr) \;=\; 28 - 27 \;=\; 1. \checkmark$$

Все семь $\gamma_p$ возвращаются ровно так (проверено машинно в рациональной арифметике) — ручки считываются со скоростей без всякой подгонки.

Шаг 4 — щель, остывание, защита. Наибольший точечный поток — $T_6 = 17$, поэтому самая медленная скорость — $\rho_6 = \tfrac{11}{6}$: спектральная щель $\Delta = \tfrac{11}{6}$, а точная константа остывания $\tau_{\mathrm{cool}} = 1/\Delta = \tfrac{6}{11}$ (в тех же единицах). Три самые долгоживущие когерентности — полярный класс оси $6$: пары $\{3,4\}, \{1,5\}, \{0,2\}$ — они сидят на трёх сильнейших прямых примера, но сами ими не тронуты: их заместительно охраняет тот самый поток, что течёт через их полярную точку. Это охранное прочтение §5 в цифрах.

§4. $\mathfrak{g}_2$-тень запрещённого пространства

Σ-исчисление фиксирует тень Ли $\mathfrak{so}(7) = \mathfrak{g}_2 \oplus \mathrm{Im}\,\mathbb{O}$ — расщепление $21 = 14 + 7$ алгебры генераторов. Отпечаток порождает то же расщепление в наблюдаемом пространстве скоростей — и это одно и то же расщепление, с точностью до явного знакового твиста.

Отождествим $\mathbb{R}^{21}$ с пространством внедиагональных образцов, индексированных парами. Пусть $\varphi$ — ассоциативная $3$-форма октонионного репера, согласованного с корпусной маркировкой ($e_i e_j = \varepsilon_{ij}\, e_{\pi(i,j)}$ на прямых, $\varepsilon_{ij} = \varphi_{ij\pi(i,j)} \in \{\pm1\}$), а $W = \mathrm{diag}(\varepsilon_{ij})$ — ориентационный твист пространства пар.

Предложение C-226 [Т]. Пусть $c : \mathbb{R}^{21} \to \mathbb{R}^7$ — беззнаковый полярный коллапс ($(c\,r)_k = \sum_{\pi(i,j)=k} r_{ij}$), а $c_\varphi : \Lambda^2\mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^7$ — $\varphi$-свёртка $\omega \mapsto \sum_{i<j} \varphi_{ijk}\,\omega_{ij}$. Тогда $c_\varphi = c \circ W$. Следовательно, $W$ переносит стандартное $G_2$-разложение $\mathfrak{so}(7) \cong \Lambda^2\mathbb{R}^7 = \mathfrak{g}_2 \oplus \iota_\varphi(\mathrm{Im}\,\mathbb{O})$ — где $\mathfrak{g}_2 = \ker c_\varphi$ и $\iota_\varphi(v) = v \lrcorner \varphi$ — на разложение отпечатка

$$\mathbb{R}^{21} \;=\; \underbrace{\{\text{запрещённые направления}\}}_{W(\mathfrak g_2),\ \dim 14} \;\oplus\; \underbrace{\{\text{реализуемые скорости}\}}_{W(\iota_\varphi(\mathrm{Im}\,\mathbb O)),\ \dim 7}.$$

Доказательство. $c_\varphi = c \circ W$ выполняется поэлементно, поскольку $\varphi_{ijk} \neq 0$ ровно при $k = \pi(i,j)$, со значением $\varepsilon_{ij}$; соответствие ядер и образов следует из того, что $W$ — инволюция. Отождествление $\mathfrak g_2 = \ker c_\varphi$ и дополнение $\iota_\varphi$ — стандартное $G_2$-модульное разложение $\Lambda^2\mathbb{R}^7$. $\blacksquare$

Прочтение [И]. Четырнадцать измерений, которых скоростной эксперимент не увидит никогда, — это знаково-твистованная $\mathfrak{g}_2$: алгебра симметрии теории есть в точности диагностически тёмное подпространство её собственного спектра декогеренции. И двойственность здесь полярная: пирамида Σ-сжатия T-225 агрегирует когерентности по прямым (мониторинг содержания), тогда как динамика схлопывает скорости по полярным точкам. Прямые и точки меняются местами самодвойственностью $\mathrm{PG}(2,2)$ — измерительная пирамида и спектр затухания суть Fano-двойственные лики одного $21 = 14 + 7$.

§5. Охранное прочтение

Из полярного закона выпадают два структурных факта, заслуживающие собственных предложений.

Внутрилинейный иммунитет [Т]. Прямая никогда не повреждает собственные когерентности: если оба конца пары лежат на $\ell$, то $|\ell \cap \{i,j\}| = 2$ и $\ell$ не даёт вклада в $r_{ij}$. Это Щит I топологической защиты, проявившийся на уровне скоростей: диссипативная грамматика структурно неспособна разъедать когерентность собственных синдромных троек.

Полярное попечительство [Т математика, И прочтение]. $r_{ij} = (G - T_{\pi(i,j)})/6$ антимонотонна по потоку полярной точки: усиление трёх прямых через ось $k$ замедляет затухание трёх когерентностей, полярных $k$. Каждая ось охраняет не свои когерентности, а полярные ей — защита в $\mathrm{PG}(2,2)$ всегда заместительна. Лучше всего защищены когерентности, полярные оси с наибольшим потоком, — и они же задают спектральную щель (T-226(v)): подопечные сильнейшего попечителя затухают медленнее всех, так что максимальная защита и медленная поздняя сходимость — два лика одного числа. Разобранный пример §3a показывает оба лика в цифрах.

§6. Фальсифицируемость и технологии

Предсказание Σ-P2 (кандидат в реестр Pred). В любой скоростной Γ-томографии кандидатной септархитектуры измеренные попарные скорости декогеренции обязаны удовлетворять четырнадцати полярным равенствам в пределах экспериментальной погрешности — при любом режиме диссипации: тождества не содержат параметров. Устойчивое воспроизводимое нарушение хотя бы в одном полярном классе фальсифицирует Fano-разводку диссипативной динамики напрямую, независимо от октонионного трека. Обратно, проверка четырнадцати тождеств в двух и более различных режимах диссипации (разные $\gamma$) — сильное свидетельство разводки, по селектору (T-226(vi)): уже одна перекоммутация одной прямой тождественно ломает семь из четырнадцати.

Технологический пакет.

1. Бюджет скоростного мониторинга [С]. Семь полярных значений вместо двадцати одной попарной скорости — трёхкратное сокращение, причём остальные четырнадцать измерений превращаются во встроенные сигнализации согласованности. Это компонуется с пирамидой Σ-сжатия T-225: мониторинг содержания сжимает по прямым, мониторинг скоростей — по полярным точкам; вместе они инструментируют оба Fano-двойственных лика матрицы когерентностей за $7 + 7$ наблюдаемых.
2. Полинейная спектроскопия диссипации («Fano-томография») [С]. Формула в рамке Леммы Φ.5 превращает полинейные силы диссипации $\gamma_p$ в прямые наблюдаемые с усилением шума $\leq \sqrt6$ (T-226(iv)) — без подгонки и регуляризации. Для ярусов Γ-томографа это даёт полинейное здоровье диссипативной грамматики из тех же данных, что сейчас дают лишь агрегатное затухание.
3. Точный бюджет остывания для SYNARC [О]. Остывание нейрогенеза T-39a становится явной константой рантайма $\tau_{\mathrm{cool}} = 6/(G - \max_k T_k)$, вычислимой из текущих скоростей линий за $O(1)$; рантайм может адаптивно поджимать остывание при сдвиге профиля диссипации вместо худшего случая.
4. Правило проектирования [О]. Чтобы пассивно защитить выбранную когерентность $(i,j)$, вкладывайте поток в прямые через её полярную точку — не в её собственную прямую (она к ней нейтральна) и не в остальные четыре (они её разъедают). Заместительная защита — проектный рычаг, недоступный архитектурам без грамматики $\lambda = 1$.

§7. Машинная верификация

Все утверждения верифицированы в точной арифметике (символьная $\gamma$, рациональная линейная алгебра):

Проверка	Результат
Каждая пара пересекает ровно $4$ прямые по одному разу; $S_{ij} \equiv 1$ прямая	✓
$r_{ij} - (G - T_{\pi(i,j)})/6 = 0$ символьно, все $21$ пара	✓
$\operatorname{rank} M = 7$; образ $=$ классово-постоянное пространство	✓
$N^{-1} = \tfrac12 N^{\mathsf T} - \tfrac16 J$; $\det N = 24$; томография точна	✓
$M^{\mathsf T}M = \tfrac16(I+J)$; сингулярные значения $2/\sqrt3,\ 1/\sqrt6^{(\times 6)}$	✓
$c_\varphi = c \circ W$; оба ядра $14$-мерны	✓
Перекоммутация одной прямой ($\{0,2,6\} \to \{0,1,6\}$): $7/14$ полярных равенств падают тождественно	✓

Верификационные скрипты следуют дисциплине M1 программы SYNARC: независимая реализация, точная арифметика и фальсифицирующая контрмодель (перекоммутированная плоскость), проверенная рядом с теоремой. Проходит и третья, независимая по языку верификация: программа на Verum (только целочисленная арифметика, sigma_wave_check.vr в репозитории SYNARC) перевыводит полярный закон на всех 21 паре, томографическое тождество суммы по прямой и полярное разбиение — вместе с энумератором Тюрина–Голея из Σ-исчисления §8a — с вердиктом ALL PASS.

§8. Сводка статусов

Утверждение	Статус
Леммы Φ.1–Φ.7	[Т]
Теорема T-226 (i)–(vii)	[Т]
Предложение C-226 ($\mathfrak g_2$-тень, $c_\varphi = c \circ W$)	[Т] (прочтение — [И])
Внутрилинейный иммунитет; полярное попечительство	[Т] (прочтение попечительства — [И])
Предсказание Σ-P2 (полярные равенства в томографии)	фальсифицируемо, [И]-отождествление
Бюджет скоростей $21 \to 7$; Fano-томография; адаптивное остывание	[С]/[О]

Куда это ведёт

• Σ-исчисление — статический селектор (T-224) и измерительная пирамида (T-225); настоящий документ — их динамический, скоростной спутник, в полярной двойственности к пирамиде.
• Динамика Gap §2 — Fano–Хэммингова разводка линдбладовских операторов, чьи точные канальные формы питают §1.
• Топологическая защита, Щит I — внутрилинейный иммунитет есть Щит I на уровне скоростей.
• Γ-канон — полярная (октонионная) тройная структура $e_i e_j = \pm e_{\pi(i,j)}$, индексирующая классы скоростей.
• Протокол измерений — куда полярно-скоростные наблюдаемые и $\gamma$-томография встраиваются в экспериментальные ярусы.
• Реестр статусов — строка T-226.