Вариационный вывод при явном действии

Область — 2026-10-03

Далее доказаны следствия выбранного действия и заданной силы. Универсальная эквивалентность с выводом Келдыша T-75 отозвана [✗]; фазовое действие и GKSL-динамика требуют отдельного сравнительного моста.

1. Уравнение движения

Пусть $L=\tfrac12\dot\theta^TM\dot\theta-V(\theta)$, постоянная $M=M^T\succ0$, $V\in C^2$, а $Q=-B\dot\theta+u(t)$, $B=B^T\succeq0$. Для вариаций с нулевыми концами

$$0=\delta\int Ldt+\int Q^T\delta\theta\,dt=\int(-M\ddot\theta-\nabla V+Q)^T\delta\theta\,dt.$$

Основная лемма вариационного исчисления даёт $M\ddot\theta+\nabla V+B\dot\theta=u$. Локальное существование и единственность следуют из локальной липшицевости поля в расширенных координатах $(\theta,\dot\theta)$ при непрерывном $u$. Длительное существование и сохранение области положительности матрицы требуют дополнительных оценок.

При $M=M(\theta)$ добавляется член

$$\Gamma_{abc}\dot\theta_b\dot\theta_c,\quad\Gamma_{abc}=\tfrac12(\partial_bM_{ac}+\partial_cM_{ab}-\partial_aM_{bc}).$$

Прежнее опускание производных «массы» не является точным выводом при переменных амплитудах.

2. Баланс энергии и устойчивость

Для постоянных $M,V$ энергия $E=\tfrac12\dot\theta^TM\dot\theta+V$ удовлетворяет

$$\dot E=-\dot\theta^TB\dot\theta+\dot\theta^Tu.$$

При $u=0$ она не возрастает. Если $B\succ0$, потенциал имеет строгий изолированный минимум и соответствующая область уровней компактна и инвариантна, принцип ЛаСалля даёт локальную асимптотическую устойчивость выбранного равновесия. При $B\succeq0$ нужно исследовать максимальное инвариантное множество в $\dot E=0$; универсальная сходимость не следует.

Для линеаризации около минимума с $K=\nabla^2V\succ0$:

$$M\ddot x+B\dot x+Kx=0.$$

Гамильтониан, потенциал и граничные условия определяют частоты и затухание. Число компонент не определяет универсальные нейронные ритмы.

3. Ограниченный принцип минимума

[Т при заданной квадратичной модели]. Если $B\succ0$ и фиксированы линейные граничные ограничения $Av=b$, функционал $\tfrac12v^TBv$ имеет единственный минимум на непустом допустимом аффинном множестве. Условия Лагранжа:

$$Bv+A^T\lambda=0,\quad Av=b.$$

Это квадратичная задача Дирихле, а не универсальная теорема минимума энтропии нелинейной живой системы. Физическая интерпретация квадратичного функционала как энтропийного производства требует своего линейного отклика и резервуара. Онзагеровская симметрия требует соответствующих условий микроскопической обратимости; она не следует из выбранных названий семи осей.

4. Вариационная свободная энергия

Для явно заданной вероятностной модели $p(y,z)$ и нормированной $q(z)$ при существующих интегралах

$$\mathcal F[q]=\mathbb E_q[\log q(z)-\log p(y,z)]=D_{KL}(q\|p(z\mid y))-\log p(y).$$

Отсюда $\mathcal F\ge-\log p(y)$, с равенством при $q=p(z\mid y)$. Это точное вероятностное тождество. Оно не отождествляет любую численную самомодель с байесовским постериором и не выводит единственную регенерацию, предел сознания или полное действие УГМ.

5. Сравнение с матричным полем

Для проверки связи с $\dot\rho=F(\rho)$ нужны отображение координат в положительные плотности, полная амплитудно-фазовая динамика, идентичность векторных полей или оценка ошибки редукции и область ненулевых амплитуд. В каждой точке такой области точно $\dot\theta_{ij}=\mathrm{Im}(F_{ij}/\gamma_{ij})$. Это система первого порядка; независимая инерционная модель второго порядка не считается автоматически той же системой.

См. выбранный лагранжиан, эволюцию и численную реализацию.