Устойчивость: геометрические запасы и управляемая динамика

Математическая редакция — 2026-10-03

Статическое расстояние до границы, устойчивость равновесия и восстановление при управлении — разные задачи. T-104 не даёт универсальную допустимую ошибку скорости декогеренции или гарантированную терапию. Выбранная панель T-92 [О] не эквивалентна полному окну; универсальная полнота трёх каналов T-102 отозвана [✗].

1. Объекты и единицы

Состояние $\rho\in\mathcal D_7$, $P=\mathrm{Tr}\rho^2$, $R=1/(7P)$ и $\Phi=P/d-1$, $d=\sum_i\rho_{ii}^2$, заданы в фиксированном репере. Кинетические скорости имеют единицу обратного времени. Расстояние состояний безразмерно; сравнивать его с изменением скорости без модели чувствительности нельзя. Расширенное считывание $D_{\mathrm{diff}}$ требует своего определения и данных.

Порог $p_c=2/7$ — выбранный HS-критерий большинства [О]. Его связь с биологическим существованием или сознанием требует отдельного моста. Точное окно задаётся четырьмя запасами: $P-2/7$, $3/7-P$, $\Phi-1$, $D_{\mathrm{diff}}-2$. Один запас не заменяет остальные.

2. Точное геометрическое расстояние

[Т при выбранной границе чистоты]. Для $P(\rho)>p_c>1/7$ расстояние в норме Гильберта–Шмидта до $\{\sigma\in\mathcal D_7:P(\sigma)=p_c\}$ равно

$$r_{\mathrm{HS}}(\rho)=\sqrt{P(\rho)-1/7}-\sqrt{p_c-1/7}.$$

Доказательство. Для $X=\rho-I/7$ имеем $\|X\|_2^2=P-1/7$. Обратное неравенство треугольника даёт нижнюю границу. Она достигается на

$$\sigma=I/7+t(\rho-I/7),\quad t=\sqrt{\frac{p_c-1/7}{P-1/7}}\in(0,1),$$

которая является выпуклой смесью состояний и имеет нужную чистоту. Поэтому граница точна для всех состояний, включая состояния неполного ранга. Это геометрический результат, а не теорема об аттракторе.

Любое допустимое изменение состояния с $\|\delta\rho\|_2<r_{\mathrm{HS}}$ сохраняет $P>p_c$. Более простая достаточная оценка: $|P(\rho)-P(\sigma)|\le2\|\rho-\sigma\|_2$.

3. T-104: расстояние Бюреса и область формул

Определим [О]

$$r_B(\rho)=\min_{P(\sigma)=p_c}d_B(\rho,\sigma),\qquad d_B^2=2(1-\mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt\rho\sigma\sqrt\rho}).$$

Минимум существует по компактности и непрерывности. Старое равенство $r_B=\sqrt{P-p_c}$ отозвано [✗]. Общая проверяемая нижняя граница:

$$r_B\ge r_{\mathrm{HS}}/\sqrt2.$$

Для бесследовой эрмитовой разности $X=X_+-X_-$, $T=\mathrm{Tr}X_+=\mathrm{Tr}X_-$, имеем $\|X\|_2^2\le2T^2$. Неравенства Фукса–ван де Граафа дают $T\le\sqrt{1-F}\le d_B$, что и доказывает оценку. Она не содержит предположения о спектре.

На семействе $\rho_a=\mathrm{diag}(a,(1-a)/6,\ldots,(1-a)/6)$, $a\ge1/7$, радиальный кандидат на границе имеет $a_c=(1+\sqrt6)/7$. Расстояние до этого кандидата равно

$$d_B(\rho_a,\rho_{a_c})=\sqrt{2(1-\sqrt{aa_c}-\sqrt{(1-a)(1-a_c)})}.$$

Это верхняя граница $r_B$, пока отдельно не доказана глобальная оптимальность кандидата. Совпадение численной оптимизации с формулой на конечной сетке не является таким доказательством. При $a_c<a<1$ ряд этой дистанции в $P-2/7$ начинается с $r^2=(49\sqrt6/80)(P-2/7)^2$; общая функция $r_B$ не определяется одной чистотой.

4. Устойчивость траекторий при возмущённом поле

[Т при явных предпосылках регулярности]. Пусть $\dot\rho=F(\rho,t)$, $\dot\sigma=\widetilde F(\sigma,t)$ сохраняют область плотностей, $F$ липшицево с константой $L$ в норме2, и $\|F(x,t)-\widetilde F(x,t)\|_2\le\eta(t)$ на рассматриваемой области. Тогда

$$\|\rho(t)-\sigma(t)\|_2\le e^{Lt}\|\rho(0)-\sigma(0)\|_2+\int_0^t e^{L(t-s)}\eta(s)\,ds.$$

Это неравенство Грёнволла. При постоянной $\eta$ второй член равен $\eta(e^{Lt}-1)/L$; при $L=0$ — $\eta t$. Если правая часть меньше минимального геометрического запаса эталонной траектории на $[0,T]$, возмущённая траектория остаётся над выбранной границей на всём интервале. Нужны запас вдоль траектории, интервал и измеренные константы, а не только начальная чистота.

При $\delta=\|\rho-\sigma\|_2$ оценки $|\delta P|\le2\delta$, $|\delta R|\le14\delta$, $|\delta\Phi|\le112\delta$ дают достаточные условия сохранения первых трёх критериев. Четвёртый требует устойчивости своего расширенного считывания. Это консервативные оценки; они не классифицируют клинические состояния.

5. Локальная и экспоненциальная устойчивость

Для стационарной точки $F(\rho_*)=0$ полного дифференцируемого поля требуется анализ $DF(\rho_*)$ на эрмитовом бесследовом касательном пространстве. На границе конуса дополнительно важна инвариантность и структура допустимых направлений. Примитивность замороженного линейного генератора не доказывает устойчивость произвольной нелинейной обратной связи.

Если доказано $\langle x-y,F(x)-F(y)\rangle\le-\alpha\|x-y\|_2^2$, $\alpha>0$, то расстояние траекторий убывает как $e^{-\alpha t}$. При возмущении поля не более $\eta$ получаем

$$\|\rho(t)-\sigma(t)\|_2\le e^{-\alpha t}\delta_0+\eta(1-e^{-\alpha t})/\alpha.$$

Это достаточное условие устойчивого возврата к окрестности, а не следствие названия «регенерация». Если собственные значения линейной устойчивой матрицы имеют отрицательные действительные части, оценка обычно имеет вид $K e^{-\alpha t}$ с $K\ge1$: ненормальность допускает временный рост.

6. Потоки чистоты и восстановление

Для выбранного поля $\dot\rho=-i[H,\rho]+\mathcal D(\rho)+a(\rho,t)(\sigma(\rho,t)-\rho)$, $a\ge0$, $\sigma\in\mathcal D_7$, точно

$$\dot P=2\mathrm{Tr}(\rho\mathcal D\rho)+2a\bigl(\mathrm{Tr}(\rho\sigma)-P\bigr).$$

Гамильтонов член не меняет чистоту. Инъекция может её увеличивать, уменьшать или сохранять. При нормализованной фановской дефазировке $\mathcal D\rho=-(2\gamma/3)\rho_{\mathrm{off}}$ диссипативный вклад равен $-(4\gamma/3)\|\rho_{\mathrm{off}}\|_2^2$. Для произвольного неунитального GKSL-члена знак иной.

В выбранной модели $a=\kappa g_V(P)$ и $g_V=0$ ниже порога, закрытый базовый генератор оставляет $I/7$ неподвижным. Положительная константа $\kappa_b=\omega_0/7$ [О] не создаёт автоматически жизнеспособность: нулевая заслонка или совпадающая цель обнуляет инъекцию. Пересечение границы требует конкретного внешнего воздействия или иной модели заслонки. Необходимость медицинского вмешательства не выводится из этой схемы.

7. Энтропия, мощность и топология

Унитальное квантовое полугрупповое течение не уменьшает энтропию, но фановская дефазировка оставляет все диагональные состояния неподвижными; поэтому строго положительный поток энтропии для каждого $\rho\ne I/7$ неверен. Инъекция не является универсальным источником негэнтропии. Применение принципа Ландауэра требует физического стирания, заданного резервуара и единиц энтропии; программная матрица не определяет мощность устройства.

$\pi_2(G_2/T^2)=\mathbb Z^2$ относится к картам пространства с нетривиальной двумерной топологией в соответствующее пространство порядков. Одна конечная матрица не имеет такого топологического заряда. Энергетический барьер требует полевой конфигурации, граничных условий и функционала энергии. Непрерывная ODE даёт непрерывность чистоты, но не гарантирует достаточное время для вмешательства.

8. Практический протокол

1. Зафиксировать наблюдаемое состояние, репер, считывание и область неопределённости.
2. Посчитать геометрические запасы и отдельно динамическую устойчивость.
3. Задать допустимые действия, ограничения и функционал потерь.
4. Проверить сохранение плотности, ошибку реконструкции и численного шага.
5. Проверить восстановление на независимых возмущениях, включая временный рост и закрытую заслонку.

Компактность допустимого множества и непрерывность потерь гарантируют существование минимума; единственность и глобальная безопасность требуют дополнительных условий. Прикладные рекомендации остаются программой проверки [Г/Пр].

См. жизнеспособность, эволюцию, идентифицируемость и сохраняющую плотность реализацию.

Fuchs–van de Graaf, primary paper.