Вычислительная реализация

Симулятор реализует заданную динамическую модель [D]. Положительная матрица на выходе сама по себе не выводит модель, не реконструирует физическое состояние и не устанавливает сознание. Математическое ядро, динамика и протокол идентифицируемости задают эти отдельные обязательства.

Состояние и конфигурация

Используется эрмитова положительно полуопределённая матрица $\rho$ с $\operatorname{Tr}\rho=1$. Вместе с ней сохраняются репер, гамильтониан, диссипатор, цель обратной связи, скорости, калибровка физического времени, опытное расширение и модель измерений. Семимерная модель имеет 48 вещественных координат состояния; совместное состояние $n$ факторов имеет размерность $7^n$ и $7^{2n}-1$ координат. Семимерный агрегат требует явного отображения редукции и теряет совместную информацию.

Параметризация $\rho=TT^\dagger/\operatorname{Tr}(TT^\dagger)$ при $T\ne0$ полезна для оценивания. Она не обеспечивает идентифицируемость модели измерений. Доверительное множество строится по правдоподобию с учётом структуры субъектов и вмешательств.

Шаг, сохраняющий состояние

Для выбранного семейства фановского дефазирования и цели $B$, принимающей значения в матрицах плотности, рассматривается

$$\dot\rho=-i[H,\rho]+\gamma(\mathcal F\rho-\rho)+a(\rho)(B(\rho)-\rho),\qquad \gamma\ge0,\quad a\ge0,$$

где $\mathcal F\rho=\operatorname{diag}\rho+\tfrac13(\rho-\operatorname{diag}\rho)$. Следующая схема первого порядка замораживает $a$ и $B$ в начальном состоянии каждого шага. Индекс $E$ в массиве равен 4 при порядке $(A,S,D,L,E,O,U)$.

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

def diagnostics(rho, e=4):
    p = float(np.trace(rho @ rho).real)
    d = float(np.sum(np.real(np.diag(rho)) ** 2))
    q_e = rho[e, e].real ** 2 + 2 * (
        np.sum(np.abs(rho[e, :]) ** 2) - abs(rho[e, e]) ** 2)
    return p, p / d - 1, float(q_e / p)

def step(rho, h, gamma, dt, rate, target):
    # rate and target are frozen at the beginning of this step.
    a = float(rate(rho))
    sigma = np.asarray(target(rho), dtype=complex)
    if dt < 0 or gamma < 0 or a < 0:
        raise ValueError("Rates and dt must be nonnegative")
    assert np.allclose(h, h.conj().T)
    assert np.allclose(sigma, sigma.conj().T)
    assert np.isclose(np.trace(sigma), 1)
    assert np.linalg.eigvalsh(sigma).min() >= -1e-12
    u = expm(-1j * h * dt)
    x = u @ rho @ u.conj().T
    diag = np.diag(np.diag(x))
    x = diag + np.exp(-2 * gamma * dt / 3) * (x - diag)
    w = np.exp(-a * dt)
    return w * x + (1 - w) * sigma

Сохранение положительности [T]. Первое отображение — унитарное сопряжение. Второе — выпуклая комбинация $c x+(1-c)\operatorname{diag}x$, $c=e^{-2\gamma\Delta t/3}\in[0,1]$. Третье — выпуклая комбинация с матрицей плотности. Их композиция сохраняет положительность и след при любом неотрицательном шаге в точной арифметике. При замороженных коэффициентах каждое отображение CPTP. Весь алгоритм может быть нелинейным из-за зависимости коэффициентов от начального состояния; называть его одним CPTP-отображением неверно.

Точность проверяется отдельно. Для ограниченных гладких коэффициентов на проходимой области замораживание и расщепление дают локальную ошибку $O(\Delta t^2)$ и глобальную ошибку первого порядка на фиксированном конечном интервале. При липшицевой константе $L$ и локальном дефекте $C\Delta t^2$ глобальная оценка имеет вид $C'\Delta t(e^{LT}-1)/L$ с непрерывной интерпретацией при $L=0$. Константы зависят от модели и области. Удвоение числа шагов оценивает ошибку; правило $\Delta t\le0.01$ не гарантирует точность при любых физических масштабах. Негладкие затворы требуют соответствующего анализа или обработки событий.

Численные проверки

На каждом публикуемом шаге проверяются эрмитовость, след, минимальное собственное значение и $1/7\le P\le1$. Малый допуск относится к ошибкам округления. Существенное нарушение означает дефект входа или алгоритма; обрезка скалярного показателя не исправляет состояние. Проекция на конус матриц плотности меняет численную траекторию и должна входить в бюджет ошибки. Обычные явные методы Эйлера и Рунге–Кутты не гарантируют положительность.

Для матрицы плотности $P\ge1/7$ и $d=\sum_i\rho_{ii}^2\ge1/7$, поэтому знаменатели чистоты и интеграции не могут приближаться к нулю. $\mathrm{Coh}_E\in[0,1]$ — доля в норме Гильберта–Шмидта, а не универсальная нижняя граница жизнеспособного класса. У $I/7$ имеем $\mathrm{Coh}_E=1/7$ и нулевую внедиагональную E-когерентность; существуют жизнеспособные состояния с пустым E-сектором. Старое универсальное утверждение T-38a снято; см. условную теорему баланса.

Содержательная проверка включает аналитический диагональный пример, некоммутирующий гамильтониан, граничное состояние, положительность при конечном шаге, сходимость при измельчении шага и независимо вычисленный контрпример к используемому универсальному утверждению. Исполняемые проверки ядра проверяют эти свойства, но не удостоверяют всю теорию.

Связь со средой

Положительная сумма GKSL-генераторов вновь является GKSL-генератором. Дополнительные диссипативные члены допустимы; старые утверждения T-57 и T-102 о трёх исчерпывающих типах сняты. Запись управления через изменения $H$, диссипаторов и цели замещения — инженерное соглашение [D]. Она требует представления действительно допустимых управлений и не доказывает их исчерпывающую единственность. Знаковая поправка сама по себе может не быть GKSL-генератором; проверяется полный генератор или канал.

Для составных систем используется тензорное состояние и явно заданные локальные каналы либо совместный гамильтониан. Нелинейная обратная связь одного состояния не имеет автоматического тензорного продолжения: задаётся вычисление коэффициентов по локальным маргиналам и линейный локальный канал с замороженными коэффициентами. Реконструкция состояния из признаков — оцениватель, а не квантовый канал среды.

Начальный запуск и закрытый затвор

Выбранная базовая скорость $\kappa_b=\omega_0/7$ — соглашение модели [D]. Положительная скорость сама по себе не создаёт когерентность. Если затвор обратной связи $g(P)$ равен нулю при $P=1/7$, то $a=\kappa g(P)=0$ в $I/7$; унитарные и унитальные диссипативные члены оставляют $I/7$ неподвижным. Запуск из этого состояния требует заданной подготовки, неунитального входа или пересмотра затвора вместе с энергетической и физической моделью. Его нельзя доказать добавлением положительного скаляра с названием bootstrap.

Ограниченное кинетическое приближение для $\kappa_0$ имеет явные предпосылки разделения временных масштабов; оно не является нормой категориального естественного преобразования. При необходимости непрерывности на границе используется регуляризованное семейство скоростей из септичности.

Мониторинг и управление

Публикуются четыре запаса: $P-2/7$, $R-1/3$, $\Phi-1$ и $D_{\rm diff}-2$. Только первый порог строгий; остальные допускают равенство. Полный вердикт требует заданного опытного расширения и считывания. Одного скаляра $C=\Phi R$, стрессового показателя или чистоты недостаточно. При доверительном множестве реконструкции $K$ критерий удостоверяется лишь тогда, когда выполнен для каждой допустимой записи из $K$; иначе вывод остаётся неопределённым. Показатель на основе E-строки должен быть явно назван прокси.

Порог $2/7$ — точное следствие выбранного соглашения о большинстве для дифференциации в норме Гильберта–Шмидта, а не универсальный порог выживания или обнаружения. Пороги самонаблюдения и дифференциации выбраны по соглашению; операциональная интерпретация требует калибровки. Динамическая жизнеспособность требует области, возмущений, допустимых управлений и доказательства инвариантности либо ядра жизнеспособности.

Для конечного набора действий вычисляется заданная потеря каждого действия. При компактном управлении и непрерывной потере минимум существует. Единственность, выпуклость и эффективная глобальная оптимизация требуют отдельных предпосылок. Они не следуют из компактности или снятой универсальной эквивалентности стресса и сознательного окна.

Стоимость и воспроизводимость

Плотные умножения и диагонализация требуют $O(N^3)$ операций и $O(N^2)$ памяти; при фиксированном гамильтониане унитарный шаг можно вычислить заранее. Совместное тензорное состояние требует соответствующего экспоненциального роста по числу факторов. Разреженные приближения и агрегированные модели требуют оценки ошибки интересующих наблюдаемых.

Публикуются репер, параметры модели, цель и затвор, правило шага и допуск, начальное зерно генератора, подготовка, правдоподобие измерений и множество неопределённости. Математический пример симуляции отличается от калиброванного физического предсказания. Численный успех проверяет реализованный экземпляр; физическое отождествление и феноменальная интерпретация остаются отдельными входами.